ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 11

**1)** Дана функция: $$ f(x) = \frac{\cos x}{x} $$ Область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме нуля: $$ D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной на множестве $D(f)$, если существует такое число $M > 0$, что для любого $x \in D(f)$ выполняется неравенство $|f(x)| \le M$. Соответственно, функция не является ограниченной, если для любого сколь угодно большого числа $M > 0$ существует такое значение $x \in D(f)$, для которого $|f(x)| > M$. Рассмотрим точки вида $x_n = \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$. Все эти точки принадлежат области определения функции ($x_n \in D(f)$). Значение функции в этих точках равно: $$ f(x_n) = \frac{\cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = n \cos\frac{1}{n} $$ Для любого натурального $n \ge 2$ аргумент косинуса $\frac{1}{n} \le \frac{1}{2} < \frac{\pi}{3}$, откуда: $$ \cos\frac{1}{n} > \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ Тогда для всех $n \ge 2$ получаем: $$ |f(x_n)| = n \cos\frac{1}{n} > \frac{n}{2} $$ Для любого заданного числа $M > 0$ достаточно выбрать натуральное число $n > 2M$ (и $n \ge 2$), тогда: $$ |f(x_n)| > \frac{n}{2} > M $$ Таким образом, для любого числа $M > 0$ существует точка $x_n \in D(f)$, в которой $|f(x_n)| > M$. Следовательно, функция $f(x) = \frac{\cos x}{x}$ не является ограниченной в области её определения, что и требовалось доказать. --- **2)** Дана функция: $$ f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} $$ Область определения функции: $$ D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ Выберем последовательность точек $x_n$, в которых синус принимает значение $1$: $$ \frac{1}{x_n} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{N} $$ Отсюда: $$ x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} $$ Так как для любого $n \in \mathbb{N}$ знаменатель отличен от нуля, точки $x_n$ принадлежат области определения $D(f)$. Вычислим значения функции в точках $x_n$: $$ f(x_n) = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$ Так как $\frac{\pi}{2} + 2\pi n > 2\pi n > 6n$, то при возрастании $n$ значения функции $f(x_n)$ становятся сколь угодно большими. Для любого фиксированного числа $M > 0$ возьмем натуральное число $n > \frac{M}{6}$. Тогда: $$ |f(x_n)| = \frac{\pi}{2} + 2\pi n > 6n > M $$ Это означает, что не существует такого числа $M > 0$, которое ограничивало бы значения $|f(x)|$ для всех $x \in D(f)$. Следовательно, функция $f(x) = \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ не является ограниченной в области её определения, что и требовалось доказать.