ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 5

1) $y = \sqrt{\sin x + 1}$ Арифметический квадратный корень определён тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $$ \sin x + 1 \ge 0 $$ $$ \sin x \ge -1 $$ Так как для любого действительного числа $x$ область значений синуса есть отрезок $[-1; 1]$, то неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Ответ: $x \in \mathbb{R}$. --- 2) $y = \sqrt{\cos x - 1}$ Функция определена при условии неотрицательности подкоренного выражения: $$ \cos x - 1 \ge 0 $$ $$ \cos x \ge 1 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $\cos x \le 1$, то условие $\cos x \ge 1$ выполняется только тогда, когда: $$ \cos x = 1 $$ Отсюда: $$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 3) $y = \lg \sin x$ Десятичный логарифм определён только для строго положительных значений аргумента: $$ \sin x > 0 $$ Синус положителен в I и II координатных четвертях (в верхней полуплоскости единичной окружности, без граничных точек). Следовательно: $$ 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in (2\pi n; \pi + 2\pi n), \; n \in \mathbb{Z}$. --- 4) $y = \sqrt{2\cos x - 1}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 2\cos x - 1 \ge 0 $$ $$ 2\cos x \ge 1 $$ $$ \cos x \ge \frac{1}{2} $$ Используя единичную окружность, находим решение простейшего тригонометрического неравенства: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right], \; n \in \mathbb{Z}$. --- 5) $y = \sqrt{1 - 2\sin x}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 1 - 2\sin x \ge 0 $$ $$ -2\sin x \ge -1 $$ $$ \sin x \le \frac{1}{2} $$ На единичной окружности прямая $y = \frac{1}{2}$ пересекает окружность в точках $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ (или $-\frac{7\pi}{6}$). Значения синуса меньше или равны $\frac{1}{2}$ соответствуют нижней дуге окружности: $$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right], \; n \in \mathbb{Z}$. --- 6) $y = \ln \cos x$ Натуральный логарифм определён для строго положительных значений выражения: $$ \cos x > 0 $$ Косинус положителен в IV и I координатных четвертях (в правой полуплоскости единичной окружности, без точек на оси ординат): $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right), \; n \in \mathbb{Z}$.