ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 731

1) Выполним умножение комплексных чисел, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ (-3 + 2i)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i\right) = -3 \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}i\right) + 2i \cdot \frac{1}{3} + 2i \cdot \left(-\frac{1}{2}i\right) $$ $$ = -1 + \frac{3}{2}i + \frac{2}{3}i - i^2 = -1 + \left(\frac{3}{2} + \frac{2}{3}\right)i - (-1) $$ $$ = -1 + 1 + \left(\frac{9 + 4}{6}\right)i = \frac{13}{6}i = 2\frac{1}{6}i $$ Ответ: $\frac{13}{6}i$ (или $2\frac{1}{6}i$). --- 2) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ \left(-5 + \sqrt{2}i\right)\left(-6 - 3\sqrt{2}i\right) = (-5) \cdot (-6) + (-5) \cdot (-3\sqrt{2}i) + \sqrt{2}i \cdot (-6) + \sqrt{2}i \cdot (-3\sqrt{2}i) $$ $$ = 30 + 15\sqrt{2}i - 6\sqrt{2}i - 3 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot i^2 = 30 + 9\sqrt{2}i - 3 \cdot 2 \cdot (-1) $$ $$ = 30 + 9\sqrt{2}i + 6 = 36 + 9\sqrt{2}i $$ Ответ: $36 + 9\sqrt{2}i$. --- 3) Сначала выполним умножение, а затем сложение: $$ (1 + i)(-1 + 2i) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2i + i \cdot (-1) + i \cdot 2i = -1 + 2i - i + 2i^2 = -1 + i - 2 = -3 + i $$ Теперь сложим полученное выражение с остальной частью: $$ (-3 + i) + 1 - 3i = (-3 + 1) + (1 - 3)i = -2 - 2i $$ Ответ: $-2 - 2i$. --- 4) Выполним умножение скобок: $$ (3 - 2i)(4 + i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot i - 2i \cdot 4 - 2i \cdot i = 12 + 3i - 8i - 2i^2 = 12 - 5i + 2 = 14 - 5i $$ Прибавим $10i$: $$ (14 - 5i) + 10i = 14 + 5i $$ Ответ: $14 + 5i$. --- 5) Сначала преобразуем числитель: $$ (3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - 3i^2 = 3 + 9i - i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i $$ Теперь выполним деление на $2 - i$, домножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 + i$: $$ \frac{6 + 8i}{2 - i} = \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{2^2 - i^2} $$ $$ = \frac{12 + 22i - 8}{4 - (-1)} = \frac{4 + 22i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i = 0{,}8 + 4{,}4i $$ Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$ (или $0{,}8 + 4{,}4i$). --- 6) Сначала упростим знаменатель дроби: $$ (1 - i)(3 + i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot i - i \cdot 3 - i^2 = 3 - 2i - (-1) = 4 - 2i $$ Выполним деление, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $4 + 2i$: $$ \frac{2 - 3i}{4 - 2i} = \frac{(2 - 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{8 + 4i - 12i - 6i^2}{4^2 - (2i)^2} $$ $$ = \frac{8 - 8i - 6(-1)}{16 - 4(-1)} = \frac{8 - 8i + 6}{16 + 4} = \frac{14 - 8i}{20} = \frac{7 - 4i}{10} = \frac{7}{10} - \frac{2}{5}i = 0{,}7 - 0{,}4i $$ Ответ: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$ (или $0{,}7 - 0{,}4i$). --- 7) Приведем дроби к общему знаменателю $(2 - 3i)(2 + 3i)$: $$ \frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i} = \frac{3(2 + 3i) + 3(2 - 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} $$ В числителе раскроем скобки, в знаменателе применим формулу разности квадратов: $$ \frac{6 + 9i + 6 - 9i}{2^2 - (3i)^2} = \frac{12}{4 - 9i^2} = \frac{12}{4 - 9(-1)} = \frac{12}{4 + 9} = \frac{12}{13} $$ Ответ: $\frac{12}{13}$. --- 8) Приведем дроби к общему знаменателю $(2 + i)(2 - i)$: $$ \frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i} = \frac{(2 - 3i)(2 - i) + (2 + 3i)(2 + i)}{(2 + i)(2 - i)} $$ Вычислим произведения в числителе: $$ (2 - 3i)(2 - i) = 4 - 2i - 6i + 3i^2 = 4 - 8i - 3 = 1 - 8i $$ $$ (2 + 3i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i^2 = 4 + 8i - 3 = 1 + 8i $$ Знаменатель: $$ (2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 $$ Сложим полученные выражения в числителе: $$ \frac{(1 - 8i) + (1 + 8i)}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4 $$ Ответ: $\frac{2}{5}$ (или $0{,}4$).