ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 716

1) Упростим второе выражение: $$ 4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} $$ Используя свойство степени $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, перепишем выражение: $$ 4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} = 4^{\log_2 3} \cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}} $$ Преобразуем каждый множитель отдельно: - $4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = (2^{\log_2 3})^2 = 3^2 = 9$; - по основному логарифмическому тождеству $4^{\log_4 \frac{5}{11}} = \frac{5}{11}$. Перемножим полученные значения: $$ 9 \cdot \frac{5}{11} = \frac{45}{11} $$ Сравним числа $\sqrt{18}$ и $\frac{45}{11}$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты: $$ (\sqrt{18})^2 = 18 $$ $$ \left(\frac{45}{11}\right)^2 = \frac{2025}{121} = 16\frac{89}{121} $$ Так как $18 > 16\frac{89}{121}$, то: $$ \sqrt{18} > \frac{45}{11} $$ Следовательно, $\sqrt{18} > 4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$. **Ответ:** $\sqrt{18}$. --- 2) Упростим второе выражение: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5} $$ Преобразуем показатель степени: - по свойству логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, учитывая, что $\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$: $$ \log_{\sqrt{6}} 5 = \log_{6^{\frac{1}{2}}} 5 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_6 5 = 2\log_6 5 $$ - тогда: $$ \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5 = \frac{1}{2} \cdot 2\log_6 5 = \log_6 5 $$ - показатель степени принимает вид: $$ \log_6 2 - \log_6 5 = \log_6 \frac{2}{5} $$ Подставим полученный показатель и применим основное логарифмическое тождество: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 \frac{2}{5}} = (6^{-1})^{\log_6 \frac{2}{5}} = 6^{-\log_6 \frac{2}{5}} = 6^{\log_6 \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5 $$ Сравним числа $\sqrt[3]{18}$ и $2{,}5$. Так как оба числа положительны, возведем их в третью степень: $$ (\sqrt[3]{18})^3 = 18 $$ $$ (2{,}5)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8} = 15{,}625 $$ Так как $18 > 15{,}625$, то: $$ \sqrt[3]{18} > 2{,}5 $$ Следовательно, $\sqrt[3]{18} > \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$. **Ответ:** $\sqrt[3]{18}$.