ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 714

1) Сравним числа $2,5^{7}$ и $2,5^{0,5}$. Показательная функция $y = 2,5^x$ является возрастающей, так как ее основание $2,5 > 1$. Сравним показатели степеней: $$ 7 > 0,5 $$ Так как функция возрастает, большему значению показателя соответствует большее значение степени: $$ 2,5^{7} > 2,5^{0,5} $$ 2) Сравним числа $0,2^{3}$ и $0,2^{4}$. Показательная функция $y = 0,2^x$ является убывающей, так как ее основание удовлетворяет условию $0 < 0,2 < 1$. Сравним показатели степеней: $$ 3 < 4 $$ Так как функция убывает, меньшему значению показателя соответствует большее значение степени: $$ 0,2^{3} > 0,2^{4} $$ 3) Сравним числа $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1}3$. Логарифмическая функция $y = \log_{3,1}x$ является возрастающей на всей области определения ($x > 0$), так как ее основание $3,1 > 1$. Сравним подлогарифмические выражения $\sqrt{10}$ и $3$: $$ 3 = \sqrt{9} $$ Так как $10 > 9$, то: $$ \sqrt{10} > 3 $$ Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение логарифма: $$ \log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3 $$ 4) Сравним числа $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$. Логарифмическая функция $y = \log_{0,3}x$ является убывающей на всей области определения ($x > 0$), так как ее основание удовлетворяет условию $0 < 0,3 < 1$. Сравним аргументы логарифмов: $$ \frac{4}{5} = \frac{16}{20} = 0,8 $$ $$ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} = 0,75 $$ Так как $0,8 > 0,75$, то: $$ \frac{4}{5} > \frac{3}{4} $$ Так как функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма: $$ \log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4} $$ Ответ: 1) $2,5^{7} > 2,5^{0,5}$; 2) $0,2^{3} > 0,2^{4}$; 3) $\log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3$; 4) $\log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4}$.