ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 711

**1)** Вычислим значение выражения: $$ \left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} $$ Используем свойство степени при возведении степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8}} = 2^{\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}} $$ Преобразуем показатель степени, применив свойство корня $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$: $$ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2 $$ Тогда получаем: $$ 2^2 = 4 $$ **2)** Вычислим значение выражения: $$ \left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3} $$ Сначала упростим первый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}} $$ Вычислим показатель степени: $$ \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9 $$ Подставим полученный результат и применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ 2^9 \cdot 2^{-3} = 2^{9 + (-3)} = 2^{9 - 3} = 2^6 = 64 $$ **Ответ:** 1) $4$; 2) $64$.