ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 631

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi), \quad \text{где } r > 0 $$ --- ### 1) Записать число $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$ в тригонометрической форме Раскроем скобки: $$ z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i $$ Здесь действительная часть $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, мнимая часть $b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. 1. Найдем модуль числа $r$: $$ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1 $$ 2. Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{a}{r} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi < 0$, точка лежит в III координатной четверти: $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} $$ **Ответ:** $\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}$ --- ### 2) Записать число $-5 (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$ в тригонометрической форме Модуль комплексного числа должен быть строго положительным ($r > 0$). Представим множитель $-1$ в тригонометрической форме: $$ -1 = \cos 180^\circ + i \sin 180^\circ $$ Тогда исходное число можно переписать в виде: $$ z = 5 \cdot (\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ)(\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ) $$ При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются: $$ z = 5 \left(\cos(180^\circ + 40^\circ) + i \sin(180^\circ + 40^\circ)\right) = 5 (\cos 220^\circ + i \sin 220^\circ) $$ **Ответ:** $5 (\cos 220^\circ + i \sin 220^\circ)$ --- ### 3) Записать число $1 + \cos \alpha + i \sin \alpha$, $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ в тригонометрической форме Применим формулы половинного угла для единицы с косинусом и синуса двойного угла: $$ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $$ $$ \sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} $$ Подставим эти выражения: $$ z = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} + i \cdot 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} = 2\cos \frac{\alpha}{2}\left(\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}\right) $$ По условию $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, следовательно, $0 \leq \frac{\alpha}{2} \leq \frac{\pi}{4}$. На этом промежутке $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$, поэтому коэффициент $r = 2\cos \frac{\alpha}{2}$ является положительным числом (модулем), а аргумент равен $\frac{\alpha}{2}$. **Ответ:** $2\cos \frac{\alpha}{2}\left(\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}\right)$ --- ### 4) Записать число $1 + \cos \frac{12\pi}{7} + i \sin \frac{12\pi}{7}$ в тригонометрической форме Угол $\frac{12\pi}{7} = 2\pi - \frac{2\pi}{7}$. Используя периодичность и четность тригонометрических функций, упростим запись: $$ \cos \frac{12\pi}{7} = \cos\left(2\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{7}\right) $$ $$ \sin \frac{12\pi}{7} = \sin\left(2\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{7}\right) $$ Тогда число примет вид: $$ z = 1 + \cos\left(-\frac{2\pi}{7}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{7}\right) $$ Применим формулы половинного аргумента для угла $\beta = -\frac{2\pi}{7}$: $$ 1 + \cos\beta = 2\cos^2 \frac{\beta}{2} = 2\cos^2\left(-\frac{\pi}{7}\right) = 2\cos^2 \frac{\pi}{7} $$ $$ \sin\beta = 2\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\beta}{2} = 2\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) = 2\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)\cos \frac{\pi}{7} $$ Вынесем общий множитель $2\cos \frac{\pi}{7}$ за скобки: $$ z = 2\cos \frac{\pi}{7}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right) $$ Так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, то модуль $r = 2\cos \frac{\pi}{7} > 0$. Приведем аргумент к стандартному промежутку $[0; 2\pi)$, прибавив $2\pi$ к аргументу $-\frac{\pi}{7}$: $$ -\frac{\pi}{7} + 2\pi = \frac{13\pi}{7} $$ Получаем тригонометрическую форму: $$ z = 2\cos \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{13\pi}{7} + i \sin \frac{13\pi}{7}\right) $$ **Ответ:** $2\cos \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{13\pi}{7} + i \sin \frac{13\pi}{7}\right)$ (или $2\cos \frac{\pi}{7}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right)$)