ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 497

Для нахождения всех различных вариантов соединения четырёх различных сопротивлений $R_1, R_2, R_3, R_4$ рассмотрим возможные схемы (топологии) включения элементов в цепь между двумя полюсами. Любая цепь из четырёх элементов является последовательно-параллельной (мостовая схема требует как минимум пяти элементов). Операции последовательного ($+$) и параллельного ($\parallel$) соединения коммутативны и ассоциативны, поэтому перестановка элементов внутри одной последовательной или параллельной группы не меняет общего сопротивления цепи. Всего существует 10 различных схем соединения четырёх резисторов. Рассчитаем количество различных комбинаций для каждой схемы. --- ### 1. Все четыре сопротивления соединены последовательно Схема: $R_a + R_b + R_c + R_d$. От перемены мест слагаемых общее сопротивление не меняется, поэтому существует только один вариант: $$N_1 = 1$$ --- ### 2. Все четыре сопротивления соединены параллельно Схема: $R_a \parallel R_b \parallel R_c \parallel R_d$. Все сопротивления равноправны: $$N_2 = 1$$ --- ### 3. Три сопротивления соединены последовательно, и к ним параллельно подключено четвёртое Схема: $(R_a + R_b + R_c) \parallel R_d$. Общее сопротивление однозначно определяется выбором сопротивления $R_d$, подключенного параллельно всей цепочке. Выбрать $R_d$ из 4 различных элементов можно: $$N_3 = C_4^1 = 4$$ --- ### 4. Три сопротивления соединены параллельно, и к ним последовательно подключено четвёртое Схема: $(R_a \parallel R_b \parallel R_c) + R_d$. Сопротивление определяется выбором одного элемента $R_d$, включенного последовательно: $$N_4 = C_4^1 = 4$$ --- ### 5. Два сопротивления соединены последовательно, и к ним параллельно подключены оставшиеся два Схема: $(R_a + R_b) \parallel R_c \parallel R_d$. Сопротивление определяется выбором неупорядоченной пары элементов $\{R_a, R_b\}$, соединенных последовательно. Число способов выбрать 2 элемента из 4: $$N_5 = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$ --- ### 6. Два сопротивления соединены параллельно, и к ним последовательно подключены оставшиеся два Схема: $(R_a \parallel R_b) + R_c + R_d$. Сопротивление определяется выбором пары $\{R_a, R_b\}$, соединенной параллельно: $$N_6 = C_4^2 = 6$$ --- ### 7. Две параллельные ветви, в каждой из которых по два последовательно соединенных сопротивления Схема: $(R_a + R_b) \parallel (R_c + R_d)$. Схема задается разбиением 4 элементов на две неупорядоченные пары по 2 элемента (так как ветви параллельны, порядок самих пар значения не имеет): $$N_7 = \frac{1}{2} C_4^2 = \frac{6}{2} = 3$$ --- ### 8. Две последовательные группы, в каждой из которых по два параллельно соединенных сопротивления Схема: $(R_a \parallel R_b) + (R_c \parallel R_d)$. Схема также определяется разбиением 4 элементов на две неупорядоченные пары по 2 элемента: $$N_8 = \frac{1}{2} C_4^2 = 3$$ --- ### 9. Смешанное соединение («лесенка», тип 1) Схема: $((R_a + R_b) \parallel R_c) + R_d$. - Выбираем элемент $R_d$, подключенный последовательно ко всей остальной цепи: $C_4^1 = 4$ способа. - Из оставшихся 3 элементов выбираем элемент $R_c$, подключенный параллельно паре: $C_3^1 = 3$ способа. - Оставшиеся 2 элемента образуют пару $\{R_a, R_b\}$ (их порядок в последовательной цепи не имеет значения): $1$ способ. По правилу произведения: $$N_9 = 4 \cdot 3 = 12$$ --- ### 10. Смешанное соединение («лесенка», тип 2) Схема: $((R_a \parallel R_b) + R_c) \parallel R_d$. - Выбираем элемент $R_d$, подключенный параллельно ко всей цепи: $C_4^1 = 4$ способа. - Из оставшихся 3 элементов выбираем элемент $R_c$, подключенный последовательно к параллельной паре: $C_3^1 = 3$ способа. - Оставшиеся 2 элемента образуют параллельную пару $\{R_a, R_b\}$: $1$ способ. По правилу произведения: $$N_{10} = 4 \cdot 3 = 12$$ --- ### Общее количество комбинаций Сложим количество вариантов по всем схемам: $$N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 + N_6 + N_7 + N_8 + N_9 + N_{10}$$ $$N = 1 + 1 + 4 + 4 + 6 + 6 + 3 + 3 + 12 + 12 = 52$$ Ответ: 52.