ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 500

Пусть имеется множество из $2n$ различных элементов. Требуется разбить их на $n$ неупорядоченных пар. 1. Возьмём любой один элемент из имеющихся $2n$ элементов. Чтобы составить с ним первую пару, пару ему можно выбрать из оставшихся $2n - 1$ элементов, то есть существует $2n - 1$ способов. 2. Из оставшихся $2n - 2$ элементов снова возьмём любой элемент. Для образования второй пары пару к нему можно выбрать из оставшихся $2n - 3$ элементов, то есть существует $2n - 3$ способов. 3. Продолжая этот процесс, на $k$-м шаге для очередного выбранного элемента пару можно будет выбрать из $2n - (2k - 1)$ оставшихся элементов. 4. На последнем, $n$-м шаге останется ровно 2 элемента, которые образуют последнюю пару единственным способом: $$2n - (2n - 1) = 1$$ По правилу произведения общее количество способов разбить $2n$ элементов на пары равно: $$(2n - 1) \cdot (2n - 3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1 = (2n - 1)!!$$ Эту же формулу можно записать через факториалы: $$(2n - 1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}$$ Ответ: $(2n - 1)!!$ (или $\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}$).