ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 496

Для нахождения всех возможных значений сопротивления участка цепи, составленного из трёх различных резисторов $R_1$, $R_2$ и $R_3$, рассмотрим все возможные топологии (схемы) их соединения: 1. **Последовательное соединение всех трёх резисторов** Резисторы соединяются последовательно друг за другом: $$ R = R_1 + R_2 + R_3 $$ Так как операция сложения коммутативна, изменение порядка резисторов в цепи не меняет общего сопротивления. Данная схема даёт **$1$** значение. 2. **Параллельное соединение всех трёх резисторов** Все три резистора подключены к двум общим узлам: $$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{R_2 R_3 + R_1 R_3 + R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3} $$ Отсюда: $$ R = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} $$ Порядок подключения резисторов не влияет на результат. Данная схема даёт **$1$** значение. 3. **Смешанное соединение: два резистора соединены параллельно, третий — последовательно с ними** Выбрать два резистора для параллельного участка можно $C_3^2 = 3$ способами, при этом оставшийся резистор подключается последовательно к получившемуся блоку: * Параллельно $R_1$ и $R_2$, последовательно $R_3$: $$ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3 $$ * Параллельно $R_1$ и $R_3$, последовательно $R_2$: $$ R = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} + R_2 $$ * Параллельно $R_2$ и $R_3$, последовательно $R_1$: $$ R = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} + R_1 $$ Поскольку $R_1 \ne R_2 \ne R_3$, все три выражения дают различные результаты. Данная схема даёт **$3$** различных значения. 4. **Смешанное соединение: два резистора соединены последовательно, третий — параллельно этой ветви** Выбрать два резистора для последовательной ветви можно $C_3^2 = 3$ способами, при этом третий резистор подключается параллельно к ней: * Последовательно $R_1$ и $R_2$, параллельно им $R_3$: $$ R = \frac{(R_1 + R_2) R_3}{(R_1 + R_2) + R_3} = \frac{(R_1 + R_2) R_3}{R_1 + R_2 + R_3} $$ * Последовательно $R_1$ и $R_3$, параллельно им $R_2$: $$ R = \frac{(R_1 + R_3) R_2}{(R_1 + R_3) + R_2} = \frac{(R_1 + R_3) R_2}{R_1 + R_2 + R_3} $$ * Последовательно $R_2$ и $R_3$, параллельно им $R_1$: $$ R = \frac{(R_2 + R_3) R_1}{(R_2 + R_3) + R_1} = \frac{(R_2 + R_3) R_1}{R_1 + R_2 + R_3} $$ Поскольку $R_1 \ne R_2 \ne R_3$, все три выражения дают различные результаты. Данная схема даёт **$3$** различных значения. Других способов соединения трёх элементов, приводящих к отличным схемам, не существует (мостовые схемы для трёх двухполюсников не реализуются). Общее количество различных значений сопротивления равно сумме вариантов во всех четырёх случаях: $$ N = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 $$ Ответ: можно получить 8 различных значений сопротивлений: 1) $R = R_1 + R_2 + R_3$ 2) $R = \dfrac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ 3) $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3$ 4) $R = \dfrac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} + R_2$ 5) $R = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} + R_1$ 6) $R = \dfrac{(R_1 + R_2) R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 7) $R = \dfrac{(R_1 + R_3) R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 8) $R = \dfrac{(R_2 + R_3) R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$