ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 466

Для вычисления числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $m$ используется формула: $$ \overline{C}_n^m = C_{n+m-1}^m = \frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!} $$ 1) Вычислим $\overline{C}_4^6$ при $n = 4$, $m = 6$: $$ \overline{C}_4^6 = C_{4+6-1}^6 = C_9^6 $$ Используя свойство $C_n^m = C_n^{n-m}$, получаем $C_9^6 = C_9^3$: $$ C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot (9 - 3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 $$ Итог: $84$. 2) Вычислим $\overline{C}_4^4$ при $n = 4$, $m = 4$: $$ \overline{C}_4^4 = C_{4+4-1}^4 = C_7^4 = C_7^3 $$ $$ C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 $$ Итог: $35$. 3) Вычислим $\overline{C}_9^2$ при $n = 9$, $m = 2$: $$ \overline{C}_9^2 = C_{9+2-1}^2 = C_{10}^2 $$ $$ C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10 - 2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 $$ Итог: $45$. 4) Вычислим $\overline{C}_2^9$ при $n = 2$, $m = 9$: $$ \overline{C}_2^9 = C_{2+9-1}^9 = C_{10}^9 = C_{10}^1 $$ $$ C_{10}^1 = \frac{10!}{1! \cdot (10 - 1)!} = \frac{10!}{1! \cdot 9!} = 10 $$ Итог: $10$. Ответ: 1) $84$; 2) $35$; 3) $45$; 4) $10$.