ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 469

Прямоугольный параллелепипед определяется тремя своими измерениями: длиной, шириной и высотой ($a$, $b$ и $c$). Два параллелепипеда считаются одинаковыми, если их измерения совпадают, независимо от порядка (например, параллелепипед с измерениями $2 \times 3 \times 5$ и параллелепипед с измерениями $5 \times 2 \times 3$ геометрически равны). При этом измерения могут совпадать между собой (в частности, куб также является прямоугольным параллелепипедом). Таким образом, задача сводится к выбору 3 измерений из 8 возможных значений (числа от $1$ до $8$) без учета порядка и с возможностью повторения. Это число сочетаний с повторениями из $n = 8$ элементов по $k = 3$: $$\overline{C}_n^k = C_{n+k-1}^k$$ Подставим значения $n = 8$ и $k = 3$: $$\overline{C}_8^3 = C_{8+3-1}^3 = C_{10}^3$$ Вычислим число сочетаний: $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120$$ Эту же величину можно получить, рассмотрев возможные случаи: 1. Все три измерения одинаковы (кубы): $a = b = c$. Таких вариантов ровно $8$. 2. Два измерения одинаковы, а третье отличается: выбор значения для равных измерений — $8$ способов, для оставшегося измерения — $7$ способов. Всего: $$8 \cdot 7 = 56\text{ вариантов}$$ 3. Все три измерения различны: $a < b < c$. Это число обычных сочетаний из $8$ по $3$: $$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56\text{ вариантов}$$ Сложим полученные результаты: $$8 + 56 + 56 = 120$$ Ответ: 120.