ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 465

Формула (6) из теоретической части параграфа задаёт сумму кубов первых $n$ натуральных чисел: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $$ Докажем справедливость этой формулы для любого натурального числа $n$ с помощью метода математической индукции. **1. База индукции** Проверим утверждение при $n = 1$. Левая часть: $$ 1^3 = 1 $$ Правая часть: $$ \frac{1^2 \cdot (1 + 1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ Так как $1 = 1$, при $n = 1$ равенство верно. **2. Индукционное предположение** Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n = k$, то есть: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} $$ **3. Индукционный переход** Докажем, что в таком случае формула верна и для $n = k + 1$, то есть: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1) + 1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$ и применим индукционное предположение: $$ \bigl(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3\bigr) + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 $$ Приведём слагаемые к общему знаменателю $4$: $$ \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} $$ Вынесем общий множитель $(k+1)^2$ за скобки в числителе: $$ \frac{(k+1)^2 \bigl(k^2 + 4(k+1)\bigr)}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} $$ Свернём выражение в скобках по формуле квадрата суммы $k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$: $$ \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Полученное выражение совпадает с правой частью формулы при $n = k + 1$. Индукционный переход доказан. **Вывод:** На основании принципа математической индукции формула (6) справедлива для любого натурального $n$.