ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 408

1) Докажем методом математической индукции, что число $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 при любом $n \in \mathbb{N}$. **1. База индукции:** При $n = 1$: $$ 6^{2 \cdot 1 - 1} + 1 = 6^1 + 1 = 7 $$ Число 7 делится на 7, значит, при $n = 1$ утверждение верно. **2. Индукционный переход:** Предположим, что утверждение верно при $n = k$ ($k \in \mathbb{N}$), то есть число $6^{2k-1} + 1$ делится на 7. Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть число $6^{2(k+1)-1} + 1 = 6^{2k+1} + 1$ делится на 7. Преобразуем выражение: $$ 6^{2k+1} + 1 = 6^2 \cdot 6^{2k-1} + 1 = 36 \cdot 6^{2k-1} + 1 $$ Представим множитель 36 в виде $35 + 1$: $$ (35 + 1) \cdot 6^{2k-1} + 1 = 35 \cdot 6^{2k-1} + (6^{2k-1} + 1) $$ В полученной сумме: - слагаемое $35 \cdot 6^{2k-1}$ делится на 7, так как 35 делится на 7 ($35 = 7 \cdot 5$); - слагаемое $(6^{2k-1} + 1)$ делится на 7 по предположению индукции. Так как каждое слагаемое делится на 7, то и вся сумма делится на 7. На основании метода математической индукции утверждение доказано для любого натурального $n$. --- 2) Докажем методом математической индукции, что число $4^n + 15n - 1$ делится на 9 при любом $n \in \mathbb{N}$. **1. База индукции:** При $n = 1$: $$ 4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 $$ Число 18 делится на 9, значит, при $n = 1$ утверждение верно. **2. Индукционный переход:** Предположим, что утверждение верно при $n = k$ ($k \in \mathbb{N}$), то есть число $4^k + 15k - 1$ делится на 9. Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть число $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ делится на 9. Преобразуем выражение, выделив в нём слагаемое $4^k + 15k - 1$: $$ 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14 $$ $$ 4(4^k + 15k - 1) - 4 \cdot 15k + 4 + 15k + 14 = 4(4^k + 15k - 1) - 45k + 18 $$ В полученном выражении: - слагаемое $4(4^k + 15k - 1)$ делится на 9 по предположению индукции; - слагаемое $-45k$ делится на 9, так как 45 делится на 9; - число 18 делится на 9. Так как каждое слагаемое делится на 9, то и вся сумма делится на 9. На основании метода математической индукции утверждение доказано для любого натурального $n$.