ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 406

Докажем каждое равенство для всех натуральных чисел $n$ с помощью метода математической индукции. ### 1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 1. **База индукции:** Проверим справедливость равенства при $n = 1$: Левая часть: $1^2 = 1$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot (1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 $$ Равенство верно при $n = 1$. 2. **Индукционное предположение:** Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n = k$: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$ 3. **Индукционный переход:** Докажем, что тогда равенство верно и для $n = k + 1$, то есть: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$ Преобразуем левую часть, используя предположение индукции: $$ (1^2 + 2^2 + \ldots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 $$ Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки: $$ (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + k + 1 \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} \right) = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} $$ Разложим квадратный трёхчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители. Так как его корни $k_1 = -2$ и $k_2 = -\frac{3}{2}$, то $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$. Подставим это разложение: $$ \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью при $n = k + 1$. Индукционный переход доказан. Равенство справедливо для любого натурального $n$. --- ### 2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{(n+1)^2 n^2}{4}$ 1. **База индукции:** Проверим равенство при $n = 1$: Левая часть: $1^3 = 1$. Правая часть: $$ \frac{(1+1)^2 \cdot 1^2}{4} = \frac{4 \cdot 1}{4} = 1 $$ Равенство верно при $n = 1$. 2. **Индукционное предположение:** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} $$ 3. **Индукционный переход:** Докажем, что равенство выполняется при $n = k + 1$: $$ 1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Используем предположение индукции: $$ \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 $$ Вынесем общий множитель $(k+1)^2$: $$ (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k + 1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Переход доказан. Равенство справедливо для любого натурального $n$. --- ### 3) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$ 1. **База индукции:** Проверим при $n = 1$: Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$. Правая часть: $1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1) = 1 \cdot 1 = 1$. Равенство верно при $n = 1$. 2. **Индукционное предположение:** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ 1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2 - 1) $$ 3. **Индукционный переход:** Докажем справедливость для $n = k + 1$, то есть: $$ 1^3 + 3^3 + \ldots + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) $$ Заметим, что правая часть при $n = k + 1$ равна: $$ (k^2 + 2k + 1)(2(k^2 + 2k + 1) - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 $$ Преобразуем левую часть для $n = k + 1$, подставив предположение: $$ k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3 = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) $$ Приведем подобные члены: $$ 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 $$ Обе части совпали, индукционный переход доказан. Равенство справедливо для любого натурального $n$. --- ### 4) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$ 1. **База индукции:** Проверим при $n = 1$: Левая часть: $(-1)^{1-1} \cdot 1^2 = 1 \cdot 1 = 1$. Правая часть: $(-1)^{1-1} \cdot \frac{1(1+1)}{2} = 1 \cdot 1 = 1$. Равенство верно при $n = 1$. 2. **Индукционное предположение:** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{k-1} \cdot k^2 = (-1)^{k-1} \cdot \frac{k(k+1)}{2} $$ 3. **Индукционный переход:** Докажем справедливость для $n = k + 1$: $$ 1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} \cdot k^2 + (-1)^k \cdot (k+1)^2 = (-1)^k \cdot \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Преобразуем сумму: $$ (-1)^{k-1} \cdot \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^k \cdot (k+1)^2 $$ Учитывая, что $(-1)^{k-1} = -(-1)^k$, вынесем общий множитель $(-1)^k \cdot (k+1)$: $$ (-1)^k \cdot (k+1) \left( -\frac{k}{2} + (k+1) \right) = (-1)^k \cdot (k+1) \left( \frac{-k + 2k + 2}{2} \right) = (-1)^k \cdot \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Переход доказан. Равенство справедливо для любого натурального $n$.