ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 407

**1)** Докажем методом математической индукции формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n $$ **1. База индукции.** Проверим справедливость формулы при $n = 1$. Сумма одного первого члена равна самому первому члену: $S_1 = a_1$. Подставим $n = 1$ в формулу: $$ S_1 = \frac{2a_1 + (1 - 1)d}{2} \cdot 1 = \frac{2a_1 + 0}{2} = a_1 $$ Получили верное равенство $a_1 = a_1$. База индукции доказана. **2. Индукционное предположение.** Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n = k$: $$ S_k = \frac{2a_1 + (k - 1)d}{2} \cdot k $$ **3. Индукционный переход.** Докажем, что при этом предположении формула верна и для $n = k + 1$, то есть: $$ S_{k+1} = \frac{2a_1 + ((k + 1) - 1)d}{2} \cdot (k + 1) = \frac{2a_1 + kd}{2} \cdot (k + 1) $$ По определению суммы и формуле $n$-го члена арифметической прогрессии ($a_{k+1} = a_1 + kd$): $$ S_{k+1} = S_k + a_{k+1} $$ Подставим выражение для $S_k$ из индукционного предположения: $$ S_{k+1} = \frac{2a_1 + (k - 1)d}{2} \cdot k + (a_1 + kd) $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd - d) \cdot k + 2(a_1 + kd)}{2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ S_{k+1} = \frac{2a_1 k + k^2 d - kd + 2a_1 + 2kd}{2} = \frac{2a_1 k + 2a_1 + k^2 d + kd}{2} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ S_{k+1} = \frac{2a_1(k + 1) + kd(k + 1)}{2} = \frac{(2a_1 + kd)(k + 1)}{2} $$ Получили требуемое выражение для $S_{k+1}$. Индукционный переход доказан. **Вывод:** на основании принципа математической индукции формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии верна для любого натурального $n$. --- **2)** Докажем методом математической индукции формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии при $q \neq 1$: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ **1. База индукции.** Проверим справедливость формулы при $n = 1$. Сумма одного первого члена равна $S_1 = b_1$. Подставим $n = 1$ в формулу: $$ S_1 = \frac{b_1(q^1 - 1)}{q - 1} = b_1 $$ Получили верное равенство $b_1 = b_1$. База индукции доказана. **2. Индукционное предположение.** Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n = k$: $$ S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1} $$ **3. Индукционный переход.** Докажем, что тогда формула верна и для следующего значения $n = k + 1$, то есть: $$ S_{k+1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q - 1} $$ По определению суммы и формуле $n$-го члена геометрической прогрессии ($b_{k+1} = b_1 q^k$): $$ S_{k+1} = S_k + b_{k+1} $$ Подставим выражение для $S_k$ из индукционного предположения: $$ S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1} + b_1 q^k $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1) + b_1 q^k(q - 1)}{q - 1} $$ Вынесем $b_1$ за скобки в числителе и раскроем оставшиеся скобки: $$ S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1 + q^k \cdot q - q^k)}{q - 1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q - 1} $$ Получили требуемое выражение для $S_{k+1}$. Индукционный переход доказан. **Вывод:** на основании принципа математической индукции формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии верна для любого натурального $n$ при $q \neq 1$.