ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 391

**1)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$. На отрезке $[1; 4]$ функция $y = \sqrt{x} \ge 0$, поэтому площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: $$ S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx $$ $$ S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16 - 2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$ Ответ: $4\frac{2}{3}$. --- **2)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$. На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$ функция $y = \cos x \ge 0$. Площадь равна: $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx $$ $$ S = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$. --- **3)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 2 - x$. 1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков: $$ x^2 = 2 - x $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. 2. На отрезке $[-2; 1]$ прямая $y = 2 - x$ лежит выше параболы $y = x^2$ (например, при $x = 0$: $2 - 0 > 0^2$). Площадь вычисляется как интеграл разности функций: $$ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx $$ $$ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} $$ Вычислим значение первообразной в пределах интегрирования: $$ F(1) = 2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 3 - 2}{6} = \frac{7}{6} $$ $$ F(-2) = 2 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} = -\frac{20}{6} $$ $$ S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{20}{6}\right) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5 $$ Ответ: $4,5$. --- **4)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^2$ и $y = 0,5x + 1,5$. 1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков: $$ 2x^2 = 0,5x + 1,5 $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 4x^2 - x - 3 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75; \quad x_2 = \frac{1 + 7}{8} = 1 $$ 2. На отрезке $\left[-\frac{3}{4}; 1\right]$ прямая $y = 0,5x + 1,5$ лежит выше параболы $y = 2x^2$. Площадь равна: $$ S = \int_{-\frac{3}{4}}^{1} (0,5x + 1,5 - 2x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{-\frac{3}{4}}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ F(1) = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3 + 18 - 8}{12} = \frac{13}{12} $$ $$ F\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} + \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = \frac{9}{64} - \frac{9}{8} + \frac{18}{64} = \frac{27}{64} - \frac{72}{64} = -\frac{45}{64} $$ $$ S = F(1) - F\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{13}{12} - \left(-\frac{45}{64}\right) = \frac{13}{12} + \frac{45}{64} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $192$: $$ S = \frac{13 \cdot 16 + 45 \cdot 3}{192} = \frac{208 + 135}{192} = \frac{343}{192} = 1\frac{151}{192} $$ Ответ: $\frac{343}{192}$ (или $1\frac{151}{192}$). --- **5)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt[3]{x}$, $x = -8$, $x = -1$, $y = 0$. На отрезке $[-8; -1]$ функция $y = \sqrt[3]{x} \le 0$, график расположен ниже оси $Ox$ ($y = 0$). Площадь вычисляется по формуле: $$ S = \int_{-8}^{-1} (0 - \sqrt[3]{x}) \, dx = -\int_{-8}^{-1} x^{\frac{1}{3}} \, dx $$ $$ S = -\left[ \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right]_{-8}^{-1} = -\left[ \frac{3}{4} x\sqrt[3]{x} \right]_{-8}^{-1} $$ $$ F(-1) = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot \sqrt[3]{-1} = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot (-1) = \frac{3}{4} $$ $$ F(-8) = \frac{3}{4} \cdot (-8) \cdot \sqrt[3]{-8} = \frac{3}{4} \cdot (-8) \cdot (-2) = 12 $$ $$ S = -(F(-1) - F(-8)) = -\left(\frac{3}{4} - 12\right) = -\left(-\frac{45}{4}\right) = \frac{45}{4} = 11,25 = 11\frac{1}{4} $$ Ответ: $11\frac{1}{4}$ (или $11,25$). --- **6)** Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^3}$, $x = -3$, $x = -1$, $y = 0$. На отрезке $[-3; -1]$ функция $y = \frac{1}{x^3} < 0$, фигура лежит под осью $Ox$. Площадь равна: $$ S = \int_{-3}^{-1} \left(0 - \frac{1}{x^3}\right) \, dx = \int_{-3}^{-1} -x^{-3} \, dx $$ $$ S = \left[ \frac{x^{-2}}{2} \right]_{-3}^{-1} = \left[ \frac{1}{2x^2} \right]_{-3}^{-1} $$ $$ S = \frac{1}{2 \cdot (-1)^2} - \frac{1}{2 \cdot (-3)^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} = \frac{9 - 1}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} $$ Ответ: $\frac{4}{9}$.