ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 393

**1)** Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) \, dx $$ Найдем первообразную по формуле $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^4}{4} = x^5 - 2x^4 $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) \, dx = (x^5 - 2x^4)\Big|_{0}^{1} = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = 1 - 2 - 0 = -1 $$ Ответ: $-1$. --- **2)** Вычислим интеграл: $$ \int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) \, dx $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^4}{4} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) \, dx = \left( \frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 \right)\Big|_{-1}^{1} $$ $$ = \left( \frac{3}{2} \cdot 1^4 - \frac{5}{2} \cdot 1^2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-1)^4 - \frac{5}{2} \cdot (-1)^2 \right) = \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \right) - \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \right) = -1 - (-1) = 0 $$ Ответ: $0$. --- **3)** Вычислим интеграл: $$ \int_{1}^{4} \sqrt{x} \left( 3 - \frac{7}{x} \right) dx $$ Преобразуем подынтегральное выражение, раскрыв скобки: $$ \sqrt{x} \left( 3 - \frac{7}{x} \right) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{\frac{1}{2}} - 7x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 7 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} - 14x^{\frac{1}{2}} = 2x\sqrt{x} - 14\sqrt{x} $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{1}^{4} \left( 3x^{\frac{1}{2}} - 7x^{-\frac{1}{2}} \right) dx = (2x\sqrt{x} - 14\sqrt{x})\Big|_{1}^{4} $$ $$ = (2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4} - 14\sqrt{4}) - (2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 14\sqrt{1}) $$ $$ = (2 \cdot 4 \cdot 2 - 14 \cdot 2) - (2 - 14) = (16 - 28) - (-12) = -12 + 12 = 0 $$ Ответ: $0$. --- **4)** Вычислим интеграл: $$ \int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x} \left( 1 - \frac{4}{x} \right) dx $$ Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $$ 4\sqrt[3]{x} \left( 1 - \frac{4}{x} \right) = 4x^{\frac{1}{3}} - \frac{16x^{\frac{1}{3}}}{x} = 4x^{\frac{1}{3}} - 16x^{-\frac{2}{3}} $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - 16 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}} - 48x^{\frac{1}{3}} = 3x\sqrt[3]{x} - 48\sqrt[3]{x} $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{1}^{8} \left( 4x^{\frac{1}{3}} - 16x^{-\frac{2}{3}} \right) dx = (3x\sqrt[3]{x} - 48\sqrt[3]{x})\Big|_{1}^{8} $$ $$ = (3 \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{8} - 48\sqrt[3]{8}) - (3 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{1} - 48\sqrt[3]{1}) $$ $$ = (3 \cdot 8 \cdot 2 - 48 \cdot 2) - (3 - 48) = (48 - 96) - (-45) = -48 + 45 = -3 $$ Ответ: $-3$. --- **5)** Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} \, dx $$ Представим корень в виде степени: $\sqrt{x + 1} = (x + 1)^{\frac{1}{2}}$. Найдем первообразную функции вида $(x + 1)^k$: $$ F(x) = \frac{(x + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} \, dx = \left( \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} \right)\Big|_{0}^{3} $$ $$ = \left( \frac{2}{3} \cdot (3 + 1)\sqrt{3 + 1} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot (0 + 1)\sqrt{0 + 1} \right) $$ $$ = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$ Ответ: $4\frac{2}{3}$. --- **6)** Вычислим интеграл: $$ \int_{2}^{6} \sqrt{2x - 3} \, dx $$ Представим функцию в виде степени: $\sqrt{2x - 3} = (2x - 3)^{\frac{1}{2}}$. Первообразная сложной функции $f(kx + b)$ имеет вид $\frac{1}{k} F(kx + b)$, где $k = 2$: $$ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(2x - 3)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(2x - 3)\sqrt{2x - 3} $$ Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{2}^{6} \sqrt{2x - 3} \, dx = \left( \frac{1}{3}(2x - 3)\sqrt{2x - 3} \right)\Big|_{2}^{6} $$ $$ = \left( \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 6 - 3)\sqrt{2 \cdot 6 - 3} \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 2 - 3)\sqrt{2 \cdot 2 - 3} \right) $$ $$ = \left( \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} \right) = \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1 = 9 - \frac{1}{3} = 8\frac{2}{3} $$ Ответ: $8\frac{2}{3}$.