ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 390

1) $f(x) = \cos x$, $M(0; -2)$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos x$: $$ F(x) = \sin x + C $$ График первообразной проходит через точку $M(0; -2)$, следовательно, $F(0) = -2$: $$ \sin 0 + C = -2 $$ $$ 0 + C = -2 \implies C = -2 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = \sin x - 2 $$ Ответ: $F(x) = \sin x - 2$. --- 2) $f(x) = \sin x$, $M(-\pi; 0)$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \sin x$: $$ F(x) = -\cos x + C $$ По условию график проходит через точку $M(-\pi; 0)$, то есть $F(-\pi) = 0$: $$ -\cos(-\pi) + C = 0 $$ Так как $\cos(-\pi) = -1$, получаем: $$ -(-1) + C = 0 $$ $$ 1 + C = 0 \implies C = -1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = -\cos x - 1 $$ Ответ: $F(x) = -\cos x - 1$. --- 3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $M(4; 5)$. Для $x > 0$ общий вид первообразных функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$: $$ F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C $$ Так как график проходит через точку $M(4; 5)$, выполняется равенство $F(4) = 5$: $$ 2\sqrt{4} + C = 5 $$ $$ 2 \cdot 2 + C = 5 $$ $$ 4 + C = 5 \implies C = 1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = 2\sqrt{x} + 1 $$ Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$. --- 4) $f(x) = e^x$, $M(0; 2)$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = e^x$: $$ F(x) = e^x + C $$ Подставим координаты точки $M(0; 2)$ в уравнение, то есть $F(0) = 2$: $$ e^0 + C = 2 $$ $$ 1 + C = 2 \implies C = 1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = e^x + 1 $$ Ответ: $F(x) = e^x + 1$. --- 5) $f(x) = 3x^2 + 1$, $M(1; -2)$. Общий вид первообразных для многочлена $f(x) = 3x^2 + 1$: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C $$ Используем условие прохождения графика через точку $M(1; -2)$, то есть $F(1) = -2$: $$ 1^3 + 1 + C = -2 $$ $$ 2 + C = -2 \implies C = -4 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = x^3 + x - 4 $$ Ответ: $F(x) = x^3 + x - 4$. --- 6) $f(x) = 2 - 2x$, $M(2; 3)$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = 2 - 2x$: $$ F(x) = 2x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x - x^2 + C $$ Так как график первообразной проходит через точку $M(2; 3)$, то $F(2) = 3$: $$ 2 \cdot 2 - 2^2 + C = 3 $$ $$ 4 - 4 + C = 3 \implies C = 3 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = 2x - x^2 + 3 \quad \text{или} \quad F(x) = -x^2 + 2x + 3 $$ Ответ: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$.