ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 389

Для того чтобы показать, что функция является решением дифференциального уравнения, найдем ее первую и вторую производные и подставим их в исходное уравнение. Дана функция: $$ y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x} $$ 1. Найдем первую производную функции $y$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования $(e^{kx})' = k e^{kx}$ и $(u + v)' = u' + v'$: $$ y' = (C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x})' = C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x} $$ 2. Найдем вторую производную функции $y$, взяв производную от $y'$: $$ y'' = (C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x})' = C_1 \omega^2 e^{\omega x} - C_2 \omega (-\omega) e^{-\omega x} = C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x} $$ Вынесем общий множитель $\omega^2$ за скобки: $$ y'' = \omega^2 (C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}) $$ Заметим, что выражение в скобках совпадает с исходной функцией $y$, следовательно: $$ y'' = \omega^2 y $$ 3. Подставим выражение для второй производной в левую часть уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$: $$ y'' - \omega^2 y = \omega^2 y - \omega^2 y = 0 $$ Получили верное тождество $0 = 0$, которое выполняется при любых постоянных $C_1$ и $C_2$. Следовательно, функция $y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ является решением уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$, что и требовалось показать.