ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 388

1) $y' = \sin x, \ y(0) = 0$. Найдем общее решение дифференциального уравнения, интегрируя обе части: $$ y = \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$ Подставим начальное условие $y(0) = 0$, чтобы найти значение постоянной $C$: $$ -\cos 0 + C = 0 $$ $$ -1 + C = 0 \implies C = 1 $$ Подставляя найденное значение $C$ в общее решение, получаем: $$ y = 1 - \cos x $$ Ответ: $y = 1 - \cos x$. 2) $y' = 2\cos x, \ y(\pi) = 1$. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int 2\cos x \, dx = 2\sin x + C $$ Используем начальное условие $y(\pi) = 1$: $$ 2\sin \pi + C = 1 $$ $$ 2 \cdot 0 + C = 1 \implies C = 1 $$ Подставим $C = 1$ в общее решение: $$ y = 2\sin x + 1 $$ Ответ: $y = 2\sin x + 1$. 3) $y' = 3x^2 + 4x - 1, \ y(1) = -2$. Интегрируем правую часть для нахождения общего решения: $$ y = \int (3x^2 + 4x - 1) \, dx = x^3 + 2x^2 - x + C $$ Подставим начальное условие $y(1) = -2$: $$ 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 + C = -2 $$ $$ 1 + 2 - 1 + C = -2 $$ $$ 2 + C = -2 \implies C = -4 $$ Искомое частное решение: $$ y = x^3 + 2x^2 - x - 4 $$ Ответ: $y = x^3 + 2x^2 - x - 4$. 4) $y' = 2 + 2x - 3x^2, \ y(-1) = 2$. Найдем общее решение уравнения путем интегрирования: $$ y = \int (2 + 2x - 3x^2) \, dx = 2x + x^2 - x^3 + C $$ Используем условие $y(-1) = 2$: $$ 2 \cdot (-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C = 2 $$ $$ -2 + 1 - (-1) + C = 2 $$ $$ 0 + C = 2 \implies C = 2 $$ Подставляем $C = 2$ в формулу общего решения: $$ y = -x^3 + x^2 + 2x + 2 $$ Ответ: $y = -x^3 + x^2 + 2x + 2$. 5) $y' = e^x, \ y(1) = 1$. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int e^x \, dx = e^x + C $$ Подставим начальное условие $y(1) = 1$: $$ e^1 + C = 1 \implies C = 1 - e $$ Запишем частное решение: $$ y = e^x - e + 1 $$ Ответ: $y = e^x - e + 1$. 6) $y' = e^{-x}, \ y(0) = 2$. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C $$ Используем начальное условие $y(0) = 2$: $$ -e^{-0} + C = 2 $$ $$ -1 + C = 2 \implies C = 3 $$ Подставим найденную константу $C$: $$ y = 3 - e^{-x} $$ Ответ: $y = 3 - e^{-x}$.