ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 351

Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат $O(0; 0)$ в точку пересечения дорог, а оси координат направив вдоль дорог навстречу начальному положению автомобилей. Пусть первый автомобиль движется вдоль оси $Ox$, а второй — вдоль оси $Oy$. По условию задачи автомобили едут по направлению к перекрестку с одинаковой постоянной скоростью $v$. В начальный момент времени $t = 0$ автомобили находятся в точках с координатами $(a; 0)$ и $(0; b)$ соответственно (где $a > 0$, $b > 0$). Тогда в момент времени $t$ их координаты равны: $$ x(t) = a - vt $$ $$ y(t) = b - vt $$ Расстояние $d(t)$ между автомобилями в момент времени $t$ определяется по теореме Пифагора: $$ d(t) = \sqrt{x^2(t) + y^2(t)} = \sqrt{(a - vt)^2 + (b - vt)^2} $$ Функция $d(t)$ принимает наименьшее значение в той же точке, в которой принимает наименьшее значение подкоренное выражение: $$ f(t) = (a - vt)^2 + (b - vt)^2 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ f(t) = a^2 - 2avt + v^2t^2 + b^2 - 2bvt + v^2t^2 $$ $$ f(t) = 2v^2t^2 - 2v(a + b)t + a^2 + b^2 $$ Получили квадратичную функцию относительно $t$, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (так как старший коэффициент $2v^2 > 0$). Найдем точку минимума функции с помощью производной: $$ f'(t) = 4v^2t - 2v(a + b) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4v^2t - 2v(a + b) = 0 $$ $$ 2vt = a + b \implies t = \frac{a + b}{2v} $$ При переходе через точку $t_0 = \frac{a + b}{2v}$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Вычислим значение функции $f(t)$ в точке минимума: $$ x\left(t_0\right) = a - v \cdot \frac{a + b}{2v} = a - \frac{a + b}{2} = \frac{a - b}{2} $$ $$ y\left(t_0\right) = b - v \cdot \frac{a + b}{2v} = b - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{2} $$ Тогда: $$ f\left(t_0\right) = \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} + \frac{(a - b)^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{2} $$ Наименьшее расстояние между автомобилями равно: $$ d_{\min} = \sqrt{f\left(t_0\right)} = \sqrt{\frac{(a - b)^2}{2}} = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} $$ Ответ: $\dfrac{|a - b|}{\sqrt{2}}$.