ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 354

Для нахождения всех первообразных функции $f(x) = x^p$ при $p \neq -1$ используется формула: $$ F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная ($C \in \mathbb{R}$). 1) $f(x) = x^6$ По формуле первообразной степенной функции при $p = 6$: $$ F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$. 2) $f(x) = x^5$ По формуле первообразной степенной функции при $p = 5$: $$ F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + C$. 3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ Представим корень в виде степени: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$. Применяем формулу при $p = -\frac{1}{3}$: $$ F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$ (или $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$). 4) $f(x) = \sqrt[4]{x}$ Запишем функцию в виде степени: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$. Применяем формулу при $p = \frac{1}{4}$: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$ (или $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$). 5) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ Применяем формулу при $p = \frac{2}{3}$: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$ (или $\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$). 6) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ Применяем формулу при $p = -\frac{3}{4}$: $$ F(x) = \frac{x^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + C = 4x^{\frac{1}{4}} + C = 4\sqrt[4]{x} + C $$ Ответ: $F(x) = 4x^{\frac{1}{4}} + C$ (или $4\sqrt[4]{x} + C$).