ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 348

По закону охлаждения Ньютона температура тела $T(t)$ в момент времени $t$ выражается формулой: $$ T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt} $$ По условию задачи: - температура окружающей среды: $T_s = 20^\circ\text{C}$; - начальная температура тела при $t = 0$: $T_0 = 200^\circ\text{C}$; - скорость остывания при $t = 0$ равна $3^\circ\text{C/с}$. Подставим значения $T_s$ и $T_0$ в формулу: $$ T(t) = 20 + (200 - 20)e^{-kt} = 20 + 180e^{-kt} $$ Скорость изменения температуры есть производная функции $T(t)$ по времени $t$ (где $t$ измеряется в секундах): $$ T'(t) = (20 + 180e^{-kt})' = -180k e^{-kt} $$ Так как тело остывает со скоростью $3^\circ\text{C/с}$ в начальный момент времени $t = 0$, то скорость изменения температуры $T'(0) = -3$: $$ -180k e^{-k \cdot 0} = -3 $$ $$ -180k = -3 $$ $$ k = \frac{3}{180} = \frac{1}{60}\text{ с}^{-1} $$ Таким образом, закон остывания тела имеет вид: $$ T(t) = 20 + 180e^{-\frac{t}{60}} $$ Найдем температуру тела через $2$ минуты после начала остывания. Переведем время в секунды: $$ t = 2\text{ мин} = 120\text{ с} $$ Подставим $t = 120$ в формулу: $$ T(120) = 20 + 180e^{-\frac{120}{60}} = 20 + 180e^{-2} = 20 + \frac{180}{e^2} $$ Вычислим приближенное значение, приняв $e \approx 2{,}718$ (тогда $e^2 \approx 7{,}389$): $$ T(120) \approx 20 + \frac{180}{7{,}389} \approx 20 + 24{,}36 \approx 44{,}4^\circ\text{C} $$ Ответ: $20 + \frac{180}{e^2}^\circ\text{C}$ (приближённо $44{,}4^\circ\text{C}$).