ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 350

Пусть торец бревна представляет собой круг диаметром $AC = d$. Обозначим ширину прямоугольного сечения балки через $x$, а высоту — через $y$. Так как прямоугольник вписан в окружность с диаметром $d$, по теореме Пифагора диагональ прямоугольника равна диаметру бревна: $$x^2 + y^2 = d^2 \implies y^2 = d^2 - x^2$$ Прочность балки на изгиб $P$ пропорциональна ширине $x$ и квадрату высоты $y^2$: $$P = k \cdot x \cdot y^2$$ где $k > 0$ — коэффициент пропорциональности. Подставим выражение для $y^2$: $$P(x) = k \cdot x(d^2 - x^2) = k(d^2 x - x^3), \quad x \in (0; d)$$ Найдем значение $x$, при котором функция $P(x)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем производную функции по $x$: $$P'(x) = k(d^2 - 3x^2)$$ Приравняем производную к нулю: $$k(d^2 - 3x^2) = 0 \implies x^2 = \frac{d^2}{3} \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}}$$ Исследуем знаки производной при переходе через точку $x = \frac{d}{\sqrt{3}}$: - при $0 < x < \frac{d}{\sqrt{3}}$ имеем $P'(x) > 0$ (функция возрастает); - при $\frac{d}{\sqrt{3}} < x < d$ имеем $P'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x = \frac{d}{\sqrt{3}}$ достигается максимум функции $P(x)$. При этом квадраты сторон прямоугольника максимальной прочности равны: $$x^2 = \frac{d^2}{3}$$ $$y^2 = d^2 - x^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$$ --- Теперь найдем размеры прямоугольника $ABCD$, получаемого при разметке по рисунку 85: 1. Так как $AC$ — диаметр окружности, то вписанные углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на диаметр, а значит, $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AC$ ($BM \perp AC$). 3. По условию точки $M$ и $N$ делят диаметр $AC = d$ на три равные части, следовательно: $$AM = \frac{1}{3}d, \quad MC = AC - AM = \frac{2}{3}d$$ 4. По метрическому соотношению в прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $$AB^2 = AM \cdot AC = \frac{1}{3}d \cdot d = \frac{d^2}{3} \implies AB = \frac{d}{\sqrt{3}}$$ $$BC^2 = MC \cdot AC = \frac{2}{3}d \cdot d = \frac{2d^2}{3} \implies BC = d\sqrt{\frac{2}{3}}$$ 5. Аналогично из прямоугольного треугольника $ADC$ с высотой $DN \perp AC$ получаем: $$CD^2 = NC \cdot AC = \frac{1}{3}d \cdot d = \frac{d^2}{3} \implies CD = \frac{d}{\sqrt{3}}$$ $$AD^2 = AN \cdot AC = \frac{2}{3}d \cdot d = \frac{2d^2}{3} \implies AD = d\sqrt{\frac{2}{3}}$$ Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником с шириной $AB = \frac{d}{\sqrt{3}}$ и высотой $BC = d\sqrt{\frac{2}{3}}$. Размеры сечения балки, полученные геометрической разметкой, в точности совпадают с размерами, обеспечивающими максимальную прочность. Ответ: да, такая разметка верна.