ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 349

Пусть $A$ — посёлок, $B$ — ближайшая к полевому стану точка шоссе, а $C$ — полевой стан. Так как $B$ — ближайшая точка шоссе к стану $C$, отрезок $BC$ перпендикулярен шоссе $AB$, то есть треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. По условию задачи, $AB = 15$ км, $BC = 9$ км. Пусть велосипедист сворачивает с шоссе в точке $M$, лежащей между $A$ и $B$. Обозначим расстояние $MB$ через $x$ (км), где $0 \le x \le 15$. Тогда: 1) Расстояние от посёлка до точки поворота равно: $AM = 15 - x$ (км). 2) Путь по полю представляет собой гипотенузу $MC$ в прямоугольном треугольнике $MBC$. По теореме Пифагора: $$ MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 9^2} = \sqrt{x^2 + 81}\text{ (км)}. $$ 3) Скорость по шоссе равна $10$ км/ч, а по полю — $8$ км/ч. Общее время в пути $t(x)$ (в часах) выражается функцией: $$ t(x) = \frac{15 - x}{10} + \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}. $$ Исследуем функцию $t(x)$ на наименьшее значение на отрезке $[0; 15]$ с помощью производной: $$ t'(x) = \left(\frac{15 - x}{10}\right)' + \left(\frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}\right)' = -\frac{1}{10} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} = -\frac{1}{10} + \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}}. $$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $t'(x) = 0$: $$ \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} = \frac{1}{10}, $$ $$ 10x = 8\sqrt{x^2 + 81}, $$ $$ 5x = 4\sqrt{x^2 + 81}. $$ Так как $x \ge 0$, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 25x^2 = 16(x^2 + 81), $$ $$ 25x^2 = 16x^2 + 1296, $$ $$ 9x^2 = 1296, $$ $$ x^2 = 144, $$ $$ x = 12\text{ (так как } x \ge 0\text{)}. $$ Значение $x = 12$ принадлежит отрезку $[0; 15]$. Определим знаки производной на отрезке $[0; 15]$: — при $x \in [0; 12)$ производная $t'(x) < 0$, функция убывает; — при $x \in (12; 15]$ производная $t'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно, точка $x = 12$ является точкой минимума функции $t(x)$ на рассматриваемом отрезке, и при $x = 12$ время движения будет наименьшим. Найдем расстояние от посёлка до точки поворота: $$ AM = 15 - x = 15 - 12 = 3\text{ (км)}. $$ Ответ: 3 км.