ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 345

Найдем область определения функции $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ x^2 + 3x + 2 \neq 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x + 1)(x + 2) \neq 0 \implies x \neq -1 \quad \text{и} \quad x \neq -2 $$ Таким образом, область определения функции: $$ D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; +\infty) $$ Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x^2 - 3x + 2)'(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 3x + 2)'}{(x^2 + 3x + 2)^2} $$ $$ y' = \frac{(2x - 3)(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (2x - 3)(x^2 + 3x + 2) = 2x^3 + 6x^2 + 4x - 3x^2 - 9x - 6 = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 $$ $$ (x^2 - 3x + 2)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 9x + 4x + 6 = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 $$ Вычтем одно выражение из другого: $$ (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6) - (2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) = 6x^2 - 12 = 6(x^2 - 2) $$ Следовательно: $$ y' = \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2 + 3x + 2)^2} $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2 + 3x + 2)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2} $$ Обе точки $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$ принадлежат области определения $D(y)$, так как $-\sqrt{2} \approx -1{,}41 \in (-2; -1)$ и $\sqrt{2} \approx 1{,}41 \in (-1; +\infty)$. Исследуем знаки производной на промежутках области определения. Знаменатель $(x^2 + 3x + 2)^2 > 0$ при всех $x \in D(y)$, поэтому знак $y'$ определяется знаком числителя $6(x^2 - 2)$: 1. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; -\sqrt{2})$: $x^2 > 2 \implies y' > 0$ (функция возрастает); 2. На интервалах $(-\sqrt{2}; -1)$ и $(-1; \sqrt{2})$: $x^2 < 2 \implies y' < 0$ (функция убывает); 3. На интервале $(\sqrt{2}; +\infty)$: $x^2 > 2 \implies y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума. При переходе через точку $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = \sqrt{2}$ — точка минимума. Ответ: $x_{\text{max}} = -\sqrt{2}$, $x_{\text{min}} = \sqrt{2}$.