ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 331

1. Найдём область определения функции $y = x(1 + 2\sqrt{x})$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Следовательно, область определения: $$ D(y) = [0; +\infty) $$ Функция $y(x)$ непрерывна на всей области определения $[0; +\infty)$. 2. Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $$ y = x + 2x\sqrt{x} = x + 2x^{\frac{3}{2}} $$ 3. Найдём производную функции на интервале $(0; +\infty)$: $$ y' = (x + 2x^{\frac{3}{2}})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 1 + 3\sqrt{x} $$ 4. Исследуем знак производной: При любом $x > 0$ значение $\sqrt{x} > 0$, следовательно: $$ y' = 1 + 3\sqrt{x} > 0 $$ Так как производная функции строго положительна на интервале $(0; +\infty)$, а сама функция непрерывна на луче $[0; +\infty)$, то по достаточному признаку возрастания функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$ возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$. Что и требовалось доказать.