ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 329

1) $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$ Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. **Вертикальные асимптоты:** Точкой разрыва функции является $x = 0$. Вычислим односторонние пределы в этой точке: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{(x-1)^3}{x^2} = \left[ \frac{(-1)^3}{+0} \right] = -\infty $$ $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{(x-1)^3}{x^2} = \left[ \frac{(-1)^3}{+0} \right] = -\infty $$ Так как пределы бесконечны, прямая $x = 0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой. **Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:** Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y = kx + b$. Преобразуем выражение функции, раскрыв скобки в числителе и выделив целую часть: $$ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $$ $$ f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2} = x - 3 + \frac{3x - 1}{x^2} $$ Найдём коэффициенты $k$ и $b$: $$ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^3} = 1 $$ $$ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( x - 3 + \frac{3x - 1}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( -3 + \frac{3x - 1}{x^2} \right) = -3 $$ Следовательно, прямая $y = x - 3$ является наклонной асимптотой. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 0$, наклонная асимптота $y = x - 3$. --- 2) $f(x) = \frac{x^4}{x^3 - 1}$ Область определения функции: знаменатель не равен нулю при $x^3 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. **Вертикальные асимптоты:** Исследуем поведение функции в точке разрыва $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^4}{x^3 - 1} = \left[ \frac{1}{-0} \right] = -\infty $$ $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^4}{x^3 - 1} = \left[ \frac{1}{+0} \right] = +\infty $$ Так как пределы бесконечны, прямая $x = 1$ является вертикальной асимптотой. **Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:** Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y = kx + b$. Выделим целую часть дроби: $$ f(x) = \frac{x^4 - x + x}{x^3 - 1} = \frac{x(x^3 - 1) + x}{x^3 - 1} = x + \frac{x}{x^3 - 1} $$ Найдём коэффициенты $k$ и $b$: $$ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x(x^3 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x^4 - x} = 1 $$ $$ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{x}{x^3 - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^3 - 1} = 0 $$ Следовательно, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 1$, наклонная асимптота $y = x$.