ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 332

1) $y = x \ln x$ Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ y' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ Найдем критические точки: $$ y' = 0 \iff \ln x + 1 = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e} $$ Определим знаки производной на интервалах области определения: - при $x \in \left(0; \frac{1}{e}\right)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in \left(\frac{1}{e}; +\infty\right)$: $y' > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = \frac{1}{e}$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x = \frac{1}{e}$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = \frac{1}{e}$. --- 2) $y = x e^x$ Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ y' = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x) $$ Найдем критические точки: $$ e^x(1 + x) = 0 $$ Так как $e^x > 0$ при любых $x$, то: $$ 1 + x = 0 \iff x = -1 $$ Определим знаки производной: - при $x \in (-\infty; -1)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in (-1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = -1$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x = -1$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = -1$. --- 3) $y = \frac{4}{x-3} - \frac{16}{x-7}$ Область определения: $x \neq 3$, $x \neq 7$, то есть $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; 7) \cup (7; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ y' = 4 \cdot \left(-\frac{1}{(x-3)^2}\right) - 16 \cdot \left(-\frac{1}{(x-7)^2}\right) = -\frac{4}{(x-3)^2} + \frac{16}{(x-7)^2} $$ Приведем производную к общему знаменателю: $$ y' = \frac{16(x-3)^2 - 4(x-7)^2}{(x-3)^2 (x-7)^2} = \frac{4\left((2(x-3))^2 - (x-7)^2\right)}{(x-3)^2 (x-7)^2} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$ y' = \frac{4(2x - 6 - x + 7)(2x - 6 + x - 7)}{(x-3)^2 (x-7)^2} = \frac{4(x + 1)(3x - 13)}{(x-3)^2 (x-7)^2} $$ Найдем нули производной: $$ 4(x + 1)(3x - 13) = 0 \iff x_1 = -1, \quad x_2 = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} $$ Знаменатель положителен при всех $x \in D(y)$. Определим знаки $y'$ методом интервалов с учетом точек разрыва $x = 3$ и $x = 7$: - при $x \in (-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает; - при $x \in (-1; 3)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in \left(3; 4\frac{1}{3}\right)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in \left(4\frac{1}{3}; 7\right)$: $y' > 0$, функция возрастает; - при $x \in (7; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = -1$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = -1$ — точка максимума. При переходе через точку $x = 4\frac{1}{3}$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 4\frac{1}{3}$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -1$, $x_{\min} = 4\frac{1}{3}$. --- 4) $y = \frac{25}{7-x} - \frac{9}{3-x}$ Область определения: $x \neq 7$, $x \neq 3$, то есть $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; 7) \cup (7; +\infty)$. Найдем производную функции (используя правило дифференцирования сложной функции): $$ y' = 25 \cdot \left(-\frac{1}{(7-x)^2}\right) \cdot (7-x)' - 9 \cdot \left(-\frac{1}{(3-x)^2}\right) \cdot (3-x)' $$ Так как $(7-x)' = -1$ и $(3-x)' = -1$, получаем: $$ y' = \frac{25}{(7-x)^2} - \frac{9}{(3-x)^2} = \frac{25}{(x-7)^2} - \frac{9}{(x-3)^2} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ y' = \frac{25(x-3)^2 - 9(x-7)^2}{(x-7)^2 (x-3)^2} = \frac{(5(x-3))^2 - (3(x-7))^2}{(x-7)^2 (x-3)^2} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$ y' = \frac{(5x - 15 - 3x + 21)(5x - 15 + 3x - 21)}{(x-7)^2 (x-3)^2} = \frac{(2x + 6)(8x - 36)}{(x-7)^2 (x-3)^2} = \frac{16(x + 3)(x - 4{,}5)}{(x-7)^2 (x-3)^2} $$ Найдем нули производной: $$ 16(x + 3)(x - 4{,}5) = 0 \iff x_1 = -3, \quad x_2 = 4{,}5 $$ Знаменатель положителен при всех $x \in D(y)$. Определим знаки $y'$ методом интервалов с учетом точек разрыва $x = 3$ и $x = 7$: - при $x \in (-\infty; -3)$: $y' > 0$, функция возрастает; - при $x \in (-3; 3)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in (3; 4{,}5)$: $y' < 0$, функция убывает; - при $x \in (4{,}5; 7)$: $y' > 0$, функция возрастает; - при $x \in (7; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = -3$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», значит, $x = -3$ — точка максимума. При переходе через точку $x = 4{,}5$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x = 4{,}5$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -3$, $x_{\min} = 4{,}5$.