ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 328

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, равна $x$ см ($x > 0$), а его высота равна $h$ см ($h > 0$). Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из площадей двух квадратных оснований и четырёх боковых граней: $$ S = 2x^2 + 4xh $$ По условию площадь полной поверхности равна $600\text{ см}^2$: $$ 2x^2 + 4xh = 600 $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ x^2 + 2xh = 300 $$ Выразим высоту $h$ через $x$: $$ h = \frac{300 - x^2}{2x} $$ Так как линейные размеры параллелепипеда положительны ($x > 0$, $h > 0$), то: $$ 300 - x^2 > 0 \implies x^2 < 300 \implies 0 < x < 10\sqrt{3} $$ Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $$ V(x) = x^2 \cdot h = x^2 \cdot \frac{300 - x^2}{2x} = \frac{300x - x^3}{2} = 150x - \frac{1}{2}x^3 $$ Для нахождения наибольшего значения объёма найдём производную функции $V(x)$: $$ V'(x) = \left(150x - \frac{1}{2}x^3\right)' = 150 - \frac{3}{2}x^2 $$ Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$ 150 - \frac{3}{2}x^2 = 0 $$ $$ \frac{3}{2}x^2 = 150 $$ $$ x^2 = 100 $$ С учётом условия $x > 0$ получаем критическую точку $x = 10$. Исследуем знаки производной на интервале $(0; 10\sqrt{3})$: — при $0 < x < 10$ производная $V'(x) > 0$, функция возрастает; — при $10 < x < 10\sqrt{3}$ производная $V'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно, $x = 10$ является точкой максимума функции $V(x)$, и при этом значении объём будет наибольшим. Найдём высоту параллелепипеда: $$ h = \frac{300 - 10^2}{2 \cdot 10} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10\text{ (см)} $$ Так как все измерения параллелепипеда равны ($x = 10$ см, $h = 10$ см), искомый параллелепипед является кубом с ребром $10$ см. Наибольший объём параллелепипеда равен: $$ V = 10^3 = 1000\text{ (см}^3\text{)} $$ Ответ: куб с ребром $10$ см (наибольший объём равен $1000\text{ см}^3$).