ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 333

### 1) $y = \frac{2}{x^2 - 4}$ Для построения графика проведём исследование функции по стандартной схеме: 1. **Область определения:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $$ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 $$ $$ D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) $$ 2. **Чётность:** $$ y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 4} = y(x) $$ Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = \frac{2}{0^2 - 4} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 $$ Точка $(0; -0{,}5)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): дробь $\frac{2}{x^2 - 4} = 0$ решений не имеет, график не пересекает ось $Ox$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты — прямые $x = -2$ и $x = 2$. При $x \to 2^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 2^-$, $y \to -\infty$. В силу чётности: при $x \to -2^-$, $y \to +\infty$; при $x \to -2^+$, $y \to -\infty$. - Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$, поэтому прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой. 5. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную функции: $$ y' = \left(2(x^2 - 4)^{-1}\right)' = -2(x^2 - 4)^{-2} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \implies x = 0 $$ Знаменатель $(x^2 - 4)^2 > 0$ при всех $x \in D(y)$, поэтому знак $y'$ зависит только от числителя $-4x$: - при $x \in (-\infty; -2)$ и $x \in (-2; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает; - при $x \in (0; 2)$ и $x \in (2; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает. Точка $x = 0$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(0) = -0{,}5 $$ 6. **Контрольные точки для построения:** - при $x = \pm 1$: $y = \frac{2}{1 - 4} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$; - при $x = \pm 3$: $y = \frac{2}{9 - 4} = \frac{2}{5} = 0{,}4$. **Построение графика:** - Проводим вертикальные пунктирные асимптоты $x = -2$ и $x = 2$, а также горизонтальную $y = 0$. - В интервале $(-2; 2)$ ветвь графика напоминает параболу с вершиной в точке локального максимума $(0; -0{,}5)$, уходящую вниз к $-\infty$ при приближении к асимптотам $x = \pm 2$. - При $x < -2$ и $x > 2$ ветви графика расположены выше оси $Ox$, плавно приближаясь к оси $Ox$ при $|x| \to \infty$ и уходя в $+\infty$ при приближении к $x = \pm 2$. --- ### 2) $y = \frac{2}{x^2 + 4}$ 1. **Область определения:** Знаменатель $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ при любых $x$, поэтому: $$ D(y) = \mathbb{R} $$ 2. **Чётность:** $$ y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 4} = \frac{2}{x^2 + 4} = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = \frac{2}{0 + 4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Точка $(0; 0{,}5)$. - С осью $Ox$: $y > 0$ при всех $x$, график не пересекает ось $Ox$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальных асимптот нет. - Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ знаменатель стремится к $+\infty$, значит, $\lim_{x \to \pm\infty} y = 0$. Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота. 5. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} $$ Критическая точка: $$ y' = 0 \implies x = 0 $$ Знаменатель $(x^2 + 4)^2 > 0$ для всех $x$: - при $x < 0$ производная $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty; 0]$; - при $x > 0$ производная $y' < 0$, функция убывает на $[0; +\infty)$. Точка $x = 0$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(0) = 0{,}5 $$ 6. **Контрольные точки:** - при $x = \pm 2$: $y = \frac{2}{4 + 4} = \frac{1}{4} = 0{,}25$; - при $x = \pm 4$: $y = \frac{2}{16 + 4} = 0{,}1$. **Построение графика:** График представляет собой колоколообразную кривую («холмик»), симметричную относительно оси $Oy$, с вершиной в точке $(0; 0{,}5)$, плавно прижимающуюся к оси $Ox$ при удалении в обе стороны. --- ### 3) $y = (x - 1)^2(x + 2)$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = \mathbb{R} $$ 2. **Чётность:** Функция не является ни чётной, ни нечётной. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ (x - 1)^2(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -2 $$ Точки $(-2; 0)$ и $(1; 0)$. Так как корень $x = 1$ имеет кратность 2, график касается оси $Ox$ в этой точке. - С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = (0 - 1)^2(0 + 2) = 2 $$ Точка $(0; 2)$. 4. **Поведение на бесконечности:** Раскроем скобки: $$ y = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2 $$ При $x \to +\infty$ значение $y \to +\infty$; при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$. Асимптот нет. 5. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Критические точки: $$ y' = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ Определим знаки $y'$ методом интервалов: - на $(-\infty; -1]$: $y' > 0$, функция возрастает; - на $[-1; 1]$: $y' < 0$, функция убывает; - на $[1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Экстремумы функции: - Точка локального максимума: $x = -1$, $$ y_{\max} = y(-1) = (-1 - 1)^2(-1 + 2) = 4 $$ Точка $(-1; 4)$. - Точка локального минимума: $x = 1$, $$ y_{\min} = y(1) = 0 $$ Точка $(1; 0)$. 6. **Контрольные точки:** - при $x = -3$: $y = (-4)^2(-1) = -16$; - при $x = 2$: $y = (1)^2(4) = 4$. **Построение графика:** График — кубическая парабола: - поднимается из третьей четверти, пересекает ось $Ox$ в точке $(-2; 0)$; - достигает локального максимума в точке $(-1; 4)$; - убывает, пересекая ось $Oy$ в точке $(0; 2)$; - касается оси $Ox$ снизу в точке локального минимума $(1; 0)$; - неограниченно возрастает в первой четверти. --- ### 4) $y = x(x - 1)^3$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = \mathbb{R} $$ 2. **Чётность:** Функция общего вида (ни чётная, ни нечётная). 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x(x - 1)^3 = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ Точки $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $x = 1$ корень третьей степени, поэтому график пересекает ось $Ox$, совершая перегиб с горизонтальной касательной. - С осью $Oy$: проходит через начало координат $(0; 0)$. 4. **Поведение на бесконечности:** Старший член многочлена равен $x \cdot x^3 = x^4$: $$ \lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty $$ Асимптот нет. 5. **Промежутки монотонности и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (x)' \cdot (x - 1)^3 + x \cdot \left((x - 1)^3\right)' = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)^2 $$ Вынесем общий множитель: $$ y' = (x - 1)^2 \cdot (x - 1 + 3x) = (x - 1)^2(4x - 1) $$ Критические точки: $$ y' = 0 \implies x_1 = \frac{1}{4}, \quad x_2 = 1 $$ Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, знак производной определяется множителем $4x - 1$: - при $x < \frac{1}{4}$: $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; 0{,}25]$; - при $x > \frac{1}{4}$ (включая окрестность точки $x = 1$): $y' > 0$, функция возрастает на $[0{,}25; +\infty)$. Экстремумы: - Точка минимума: $x = \frac{1}{4} = 0{,}25$: $$ y_{\min} = y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{256} \approx -0{,}11 $$ Точка $(0{,}25; -0{,}11)$. - В точке $x = 1$ производная $y' = 0$, но знак не меняется: это стационарная точка перегиба с горизонтальной касательной, точка $(1; 0)$. 6. **Контрольные точки:** - при $x = -1$: $y = (-1) \cdot (-2)^3 = 8$; - при $x = 0{,}5$: $y = 0{,}5 \cdot (-0{,}5)^3 = -0{,}0625$; - при $x = 2$: $y = 2 \cdot (1)^3 = 2$. **Построение графика:** - График опускается из второй четверти (из $+\infty$), проходит через начало координат $(0; 0)$; - достигает пологого минимума в точке $(0{,}25; -0{,}11)$; - начинает возрастать, подходит к точке $(1; 0)$ с горизонтальным перегибом, пересекает ось $Ox$ и круто уходит вверх в $+\infty$.