ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 278

**1)** $y = x + \sqrt{3 - x}$ Область определения функции задаётся условием $3 - x \ge 0$, то есть $x \le 3$: $$ D(y) = (-\infty; 3] $$ Найдём производную функции при $x < 3$: $$ y' = (x)' + (\sqrt{3 - x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (3 - x)' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0 $$ $$ 2\sqrt{3 - x} = 1 $$ $$ \sqrt{3 - x} = \frac{1}{2} $$ $$ 3 - x = \frac{1}{4} $$ $$ x = 2{,}75 $$ Определим знаки производной на промежутках: - при $x < 2{,}75$ (например, $x = -1$): $y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$; - при $2{,}75 < x < 3$ (например, $x = 2{,}99$): $y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{0{,}01}} = 1 - \frac{1}{0{,}2} = -4 < 0$. При переходе через точку $x = 2{,}75$ знак производной меняется с плюса на минус, следовательно, $x = 2{,}75$ — точка максимума. Ответ: $x_{\max} = 2{,}75$. --- **2)** $y = (x - 1)^7$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = 7(x - 1)^6 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 7(x - 1)^6 = 0 \implies x = 1 $$ Так как показатель степени $6$ чётный, то $(x - 1)^6 > 0$ при всех $x \neq 1$. Производная $y' \ge 0$ на всей числовой прямой и не меняет знак при переходе через точку $x = 1$. Следовательно, экстремумов нет. Ответ: точек экстремума нет. --- **3)** $y = x - \sin 2x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = 1 - 2\cos 2x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Исследуем знак производной в окрестности критических точек с помощью второй производной: $$ y'' = (1 - 2\cos 2x)' = 4\sin 2x $$ - Для точек $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$: $$ y''\left(\frac{\pi}{6} + \pi k\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} > 0 $$ Так как $y'' > 0$, эти точки являются точками минимума. - Для точек $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$: $$ y''\left(-\frac{\pi}{6} + \pi k\right) = 4\sin\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3} < 0 $$ Так как $y'' < 0$, эти точки являются точками максимума. Ответ: $x_{\max} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $x_{\min} = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- **4)** $y = \cos 3x - 4x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = -3\sin 3x - 4 $$ Так как $-1 \le \sin 3x \le 1$, то: $$ -3 \le -3\sin 3x \le 3 $$ $$ y' = -3\sin 3x - 4 \le 3 - 4 = -1 < 0 $$ Производная отрицательна при всех $x \in \mathbb{R}$, функция строго убывает на всей области определения. Следовательно, критических точек и экстремумов нет. Ответ: точек экстремума нет. --- **5)** $y = (x - 1)^4$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = 4(x - 1)^3 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4(x - 1)^3 = 0 \implies x = 1 $$ Определим знаки производной: - при $x < 1$: $y' < 0$ (функция убывает); - при $x > 1$: $y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x = 1$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = 1$. --- **6)** $y = 1 - (x + 1)^6$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = -6(x + 1)^5 $$ Приравняем производную к нулю: $$ -6(x + 1)^5 = 0 \implies x = -1 $$ Определим знаки производной: - при $x < -1$: $x + 1 < 0 \implies (x + 1)^5 < 0 \implies y' > 0$ (функция возрастает); - при $x > -1$: $x + 1 > 0 \implies (x + 1)^5 > 0 \implies y' < 0$ (функция убывает). При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x = -1$ — точка максимума. Ответ: $x_{\max} = -1$. --- **7)** $y = (x + 2)^2(x - 3)^3$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную по формуле производной произведения: $$ y' = ((x + 2)^2)'(x - 3)^3 + (x + 2)^2((x - 3)^3)' $$ $$ y' = 2(x + 2)(x - 3)^3 + 3(x + 2)^2(x - 3)^2 $$ Вынесем общий множитель $(x + 2)(x - 3)^2$ за скобки: $$ y' = (x + 2)(x - 3)^2 \cdot (2(x - 3) + 3(x + 2)) $$ $$ y' = (x + 2)(x - 3)^2 \cdot (2x - 6 + 3x + 6) = 5x(x + 2)(x - 3)^2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 5x(x + 2)(x - 3)^2 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 3 $$ Определим знаки производной методом интервалов с учётом того, что множитель $(x - 3)^2 \ge 0$ имеет чётную степень: - при $x \in (-\infty; -2)$: $y' > 0$; - при $x \in (-2; 0)$: $y' < 0$; - при $x \in (0; 3)$: $y' > 0$; - при $x \in (3; +\infty)$: $y' > 0$. Анализируем критические точки: - при переходе через точку $x = -2$ знак $y'$ меняется с $+$ на $-$, следовательно, $x = -2$ — точка максимума; - при переходе через точку $x = 0$ знак $y'$ меняется с $-$ на $+$, следовательно, $x = 0$ — точка минимума; - при переходе через точку $x = 3$ знак $y'$ не меняется, экстремума в этой точке нет. Ответ: $x_{\max} = -2$, $x_{\min} = 0$. --- **8)** $y = (x - 5)e^x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = (x - 5)'e^x + (x - 5)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x - 5)e^x = (x - 4)e^x $$ Приравняем производную к нулю: $$ (x - 4)e^x = 0 $$ Так как $e^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, получаем: $$ x - 4 = 0 \implies x = 4 $$ Определим знаки производной: - при $x < 4$: $y' < 0$ (функция убывает); - при $x > 4$: $y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = 4$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x = 4$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = 4$.