ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 281

**1)** $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-1; 2]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 3x(x - 4) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ 3. Проверим принадлежность найденных точек отрезку $[-1; 2]$: $0 \in [-1; 2]$, а точка $4 \notin [-1; 2]$. 4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка: $$ f(-1) = (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2 $$ $$ f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 = 9 $$ $$ f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 $$ 5. Сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее: $$ \max_{[-1; 2]} f(x) = f(0) = 9 $$ $$ \min_{[-1; 2]} f(x) = f(2) = -7 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $9$, наименьшее значение равно $-7$. --- **2)** $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-1; 2]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 3)' = 4x^3 - 16x $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 4x(x^2 - 4) = 0 $$ $$ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -2 $$ 3. Проверим принадлежность точек отрезку $[-1; 2]$: $0 \in [-1; 2]$, $2 \in [-1; 2]$ (правый конец отрезка), а $-2 \notin [-1; 2]$. 4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$ f(-1) = (-1)^4 - 8 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4 $$ $$ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 3 = 3 $$ $$ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13 $$ 5. Сравнивая полученные значения, получаем: $$ \max_{[-1; 2]} f(x) = f(0) = 3 $$ $$ \min_{[-1; 2]} f(x) = f(2) = -13 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $3$, наименьшее значение равно $-13$. --- **3)** $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-2; 1]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36 $$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 6(x^2 + x - 6) = 0 $$ $$ 6(x + 3)(x - 2) = 0 $$ $$ x_1 = -3, \quad x_2 = 2 $$ 3. Проверим принадлежность точек отрезку $[-2; 1]$: Ни одна из точек не принадлежит данному отрезку ($-3 < -2$ и $2 > 1$). Значит, критических точек внутри отрезка нет, и функция на нем монотонна. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 36 \cdot (-2) = -16 + 12 + 72 = 68 $$ $$ f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 36 \cdot 1 = 2 + 3 - 36 = -31 $$ 5. Сравнивая полученные значения: $$ \max_{[-2; 1]} f(x) = f(-2) = 68 $$ $$ \min_{[-2; 1]} f(x) = f(1) = -31 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $68$, наименьшее значение равно $-31$. --- **4)** $f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x$ на отрезке $[-3; -2]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 + 9x^2 + 15x)' = 3x^2 + 18x + 15 $$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 3(x^2 + 6x + 5) = 0 $$ $$ 3(x + 1)(x + 5) = 0 $$ $$ x_1 = -1, \quad x_2 = -5 $$ 3. Проверим принадлежность точек отрезку $[-3; -2]$: Точки $-5$ и $-1$ не принадлежат отрезку $[-3; -2]$ ($-5 < -3$ и $-1 > -2$). Следовательно, на данном отрезке критических точек нет. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ f(-3) = (-3)^3 + 9 \cdot (-3)^2 + 15 \cdot (-3) = -27 + 81 - 45 = 9 $$ $$ f(-2) = (-2)^3 + 9 \cdot (-2)^2 + 15 \cdot (-2) = -8 + 36 - 30 = -2 $$ 5. Сравнивая значения: $$ \max_{[-3; -2]} f(x) = f(-3) = 9 $$ $$ \min_{[-3; -2]} f(x) = f(-2) = -2 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $9$, наименьшее значение равно $-2$.