ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 275

Стационарные точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю ($y' = 0$). 1) $y = x^2 - 6x + 5$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2x - 6 = 0 $$ $$ 2x = 6 \implies x = 3 $$ Значение $x = 3$ принадлежит области определения. Ответ: $x = 3$. --- 2) $y = x^2 - 14x + 15$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (x^2 - 14x + 15)' = 2x - 14 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2x - 14 = 0 $$ $$ 2x = 14 \implies x = 7 $$ Значение $x = 7$ принадлежит области определения. Ответ: $x = 7$. --- 3) $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Перепишем функцию в виде $y = \frac{1}{2}x + 8x^{-1}$ и найдём её производную: $$ y' = \left(\frac{1}{2}x + 8x^{-1}\right)' = \frac{1}{2} - 8x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} = 0 $$ $$ \frac{8}{x^2} = \frac{1}{2} \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ Оба значения входят в область определения функции. Ответ: $x = -4$; $x = 4$. --- 4) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x}$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Перепишем функцию в виде $y = \frac{1}{3}x + 12x^{-1}$ и найдём её производную: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x + 12x^{-1}\right)' = \frac{1}{3} - 12x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{12}{x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{3} - \frac{12}{x^2} = 0 $$ $$ \frac{12}{x^2} = \frac{1}{3} \implies x^2 = 36 \implies x = \pm 6 $$ Оба значения входят в область определения функции. Ответ: $x = -6$; $x = 6$. --- 5) $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (2x^3 - 15x^2 + 36x)' = 6x^2 - 30x + 36 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 6x^2 - 30x + 36 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $6$: $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ Оба значения принадлежат области определения. Ответ: $x = 2$; $x = 3$. --- 6) $y = e^{2x} - 2e^x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (e^{2x} - 2e^x)' = 2e^{2x} - 2e^x = 2e^x(e^x - 1) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2e^x(e^x - 1) = 0 $$ Так как $2e^x > 0$ при любых действительных $x$, то: $$ e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0 $$ Значение $x = 0$ принадлежит области определения. Ответ: $x = 0$. --- 7) $y = \sin x - \cos x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x $$ Приравняем производную к нулю: $$ \cos x + \sin x = 0 $$ Если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ 1 + \operatorname{tg} x = 0 $$ $$ \operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 8) $y = \cos 2x + 2\cos x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ y' = (\cos 2x + 2\cos x)' = -2\sin 2x - 2\sin x $$ Приравняем производную к нулю: $$ -2\sin 2x - 2\sin x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ \sin 2x + \sin x = 0 $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 2\sin x \cos x + \sin x = 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ \sin x (2\cos x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; 2) $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.