ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 276

1) $y = \frac{|x|}{1 + x^2}$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Раскроем знак модуля: $$ y = \begin{cases} \dfrac{x}{1 + x^2}, & \text{если } x > 0, \\ 0, & \text{если } x = 0, \\ -\dfrac{x}{1 + x^2}, & \text{если } x < 0. \end{cases} $$ Найдем производную функции для каждого случая: При $x > 0$: $$ y' = \left(\frac{x}{1 + x^2}\right)' = \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1 $$ Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = 1$. При $x < 0$: $$ y' = \left(-\frac{x}{1 + x^2}\right)' = -\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{x^2 - 1}{(1 + x^2)^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{x^2 - 1}{(1 + x^2)^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 $$ Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -1$. Исследуем точку $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^+} y'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0^-} y'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 1}{(1 + x^2)^2} = -1 $$ Так как односторонние пределы производной не совпадают, в точке $x = 0$ производная не существует. Следовательно, критическими точками являются точки, в которых производная равна нулю ($x = -1$, $x = 1$) или не существует ($x = 0$). Ответ: $x = -1$; $x = 0$; $x = 1$. 2) $y = x^3 - |x - 1|$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Раскроем знак модуля: $$ y = \begin{cases} x^3 - (x - 1) = x^3 - x + 1, & \text{если } x > 1, \\ 1, & \text{если } x = 1, \\ x^3 - (-(x - 1)) = x^3 + x - 1, & \text{если } x < 1. \end{cases} $$ Найдем производную: При $x > 1$: $$ y' = (x^3 - x + 1)' = 3x^2 - 1 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} $$ Ни одно из значений $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ не удовлетворяет условию $x > 1$. При $x < 1$: $$ y' = (x^3 + x - 1)' = 3x^2 + 1 $$ Уравнение $3x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как $3x^2 + 1 > 0$ при всех $x$. Исследуем точку $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^+} y'(x) = 3 \cdot 1^2 - 1 = 2 $$ $$ \lim_{x \to 1^-} y'(x) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 4 $$ Пределы справа и слева не равны, следовательно, в точке $x = 1$ производная не существует. Ответ: $x = 1$. 3) $y = 2x^2 - |x^2 - 1|$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Выражение под модулем обращается в ноль при $x^2 - 1 = 0$, то есть при $x = \pm 1$. Раскроем модуль: $$ y = \begin{cases} 2x^2 - (x^2 - 1) = x^2 + 1, & \text{если } x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty), \\ 2x^2 + (x^2 - 1) = 3x^2 - 1, & \text{если } x \in (-1; 1). \end{cases} $$ Найдем производную: При $|x| > 1$: $$ y' = (x^2 + 1)' = 2x $$ $$ 2x = 0 \implies x = 0 \notin (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $$ При $|x| < 1$: $$ y' = (3x^2 - 1)' = 6x $$ $$ 6x = 0 \implies x = 0 \in (-1; 1) $$ Следовательно, $x = 0$ — критическая точка, так как $y'(0) = 0$. Исследуем точки $x = 1$ и $x = -1$: При $x \to 1^-$ имеем $y' \to 6 \cdot 1 = 6$, а при $x \to 1^+$ имеем $y' \to 2 \cdot 1 = 2$. Так как $6 \ne 2$, в точке $x = 1$ производная не существует. При $x \to -1^-$ имеем $y' \to 2 \cdot (-1) = -2$, а при $x \to -1^+$ имеем $y' \to 6 \cdot (-1) = -6$. Так как $-2 \ne -6$, в точке $x = -1$ производная не существует. Таким образом, $x = -1$ и $x = 1$ также являются критическими точками. Ответ: $x = -1$; $x = 0$; $x = 1$. 4) $y = 3x + |3x - x^2|$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем нули подмодульного выражения: $3x - x^2 = 0 \implies x(3 - x) = 0 \implies x = 0$ или $x = 3$. На интервале $(0; 3)$ выражение $3x - x^2 > 0$, вне отрезка $[0; 3]$ выражение $3x - x^2 < 0$. Раскроем знак модуля: $$ y = \begin{cases} 3x + (3x - x^2) = 6x - x^2, & \text{если } x \in (0; 3), \\ 3x - (3x - x^2) = x^2, & \text{если } x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty). \end{cases} $$ Найдем производную: При $x \in (0; 3)$: $$ y' = (6x - x^2)' = 6 - 2x $$ $$ 6 - 2x = 0 \implies x = 3 \notin (0; 3) $$ При $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$: $$ y' = (x^2)' = 2x $$ $$ 2x = 0 \implies x = 0 \notin (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) $$ Таким образом, внутри рассматриваемых интервалов производная нигде не обращается в ноль. Проверим точки $x = 0$ и $x = 3$: В точке $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^-} y'(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0 $$ $$ \lim_{x \to 0^+} y'(x) = \lim_{x \to 0^+} (6 - 2x) = 6 $$ Так как $0 \ne 6$, в точке $x = 0$ производная не существует. В точке $x = 3$: $$ \lim_{x \to 3^-} y'(x) = \lim_{x \to 3^-} (6 - 2x) = 0 $$ $$ \lim_{x \to 3^+} y'(x) = \lim_{x \to 3^+} 2x = 6 $$ Так как $0 \ne 6$, в точке $x = 3$ производная не существует. Значит, $x = 0$ и $x = 3$ — критические точки функции. Ответ: $x = 0$; $x = 3$.