ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 277

**1)** $y = 2x^2 - 20x + 1$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (2x^2 - 20x + 1)' = 4x - 20 $$ Найдем критические точки: $$ 4x - 20 = 0 \implies 4x = 20 \implies x = 5 $$ Определим знаки производной методом интервалов: * при $x < 5$: $y' < 0$ (функция убывает); * при $x > 5$: $y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = 5$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 5$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = 5$. --- **2)** $y = 3x^2 + 36x - 1$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (3x^2 + 36x - 1)' = 6x + 36 $$ Найдем критические точки: $$ 6x + 36 = 0 \implies 6x = -36 \implies x = -6 $$ Определим знаки производной: * при $x < -6$: $y' < 0$ (функция убывает); * при $x > -6$: $y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = -6$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = -6$ — точка минимума. Ответ: $x_{\min} = -6$. --- **3)** $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ y' = \left(\frac{x}{5} + \frac{5}{x}\right)' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{5x^2} $$ Найдем точки, в которых производная равна нулю: $$ \frac{x^2 - 25}{5x^2} = 0 \implies x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5 $$ Определим знаки производной на промежутках области определения: * на интервале $(-\infty; -5)$: $y' > 0$; * на интервале $(-5; 0)$: $y' < 0$; * на интервале $(0; 5)$: $y' < 0$; * на интервале $(5; +\infty)$: $y' > 0$. При переходе через точку $x = -5$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = -5$ — точка максимума. При переходе через точку $x = 5$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = 5$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -5$, $x_{\min} = 5$. --- **4)** $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ y' = \left(\frac{4}{x} + \frac{x}{16}\right)' = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{16} = \frac{x^2 - 64}{16x^2} $$ Найдем точки, в которых производная равна нулю: $$ \frac{x^2 - 64}{16x^2} = 0 \implies x^2 - 64 = 0 \implies x = \pm 8 $$ Определим знаки производной: * на интервале $(-\infty; -8)$: $y' > 0$; * на интервале $(-8; 0)$: $y' < 0$; * на интервале $(0; 8)$: $y' < 0$; * на интервале $(8; +\infty)$: $y' > 0$. При переходе через точку $x = -8$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = -8$ — точка максимума. При переходе через точку $x = 8$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 8$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -8$, $x_{\min} = 8$. --- **5)** $y = x^3 - 4x^2$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x = x(3x - 8) $$ Найдем критические точки: $$ x(3x - 8) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Определим знаки производной: * на промежутке $(-\infty; 0)$: $y' > 0$; * на промежутке $\left(0; \frac{8}{3}\right)$: $y' < 0$; * на промежутке $\left(\frac{8}{3}; +\infty\right)$: $y' > 0$. При переходе через $x = 0$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = 0$ — точка максимума. При переходе через $x = \frac{8}{3}$ знак меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x = \frac{8}{3}$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. --- **6)** $y = x^4 - 8x^2 + 5$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2) $$ Найдем критические точки: $$ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 $$ Определим знаки производной на полученных интервалах: * на интервале $(-\infty; -2)$: $y' < 0$; * на интервале $(-2; 0)$: $y' > 0$; * на интервале $(0; 2)$: $y' < 0$; * на интервале $(2; +\infty)$: $y' > 0$. Смена знака: * в точке $x = -2$: с «$-$» на «$+$» $\implies$ точка минимума; * в точке $x = 0$: с «$+$» на «$-$» $\implies$ точка максимума; * в точке $x = 2$: с «$-$» на «$+$» $\implies$ точка минимума. Ответ: $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = -2$, $x_{\min} = 2$ (или $x_{\min} = \pm 2$). --- **7)** $y = x + \sin x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $\cos x \ge -1$, то: $$ y' = 1 + \cos x \ge 0 $$ Производная обращается в нуль в точках $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, однако при переходе через эти точки знак производной не меняется (она остается неотрицательной). Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому точек экстремума нет. Ответ: точек экстремума нет. --- **8)** $y = 6\sin x - \cos 2x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (6\sin x - \cos 2x)' = 6\cos x - (-\sin 2x) \cdot 2 = 6\cos x + 2\sin 2x $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, разложим выражение на множители: $$ y' = 6\cos x + 4\sin x\cos x = 2\cos x(3 + 2\sin x) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2\cos x(3 + 2\sin x) = 0 $$ Поскольку для любого $x$ значение $-1 \le \sin x \le 1$, то: $$ 3 + 2\sin x \ge 3 + 2(-1) = 1 > 0 $$ Множитель $(3 + 2\sin x)$ строго положителен при всех $x$, следовательно, знак производной определяется только знаком $\cos x$: $$ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Исследуем смену знака $\cos x$ при переходе через критические точки: * при переходе через точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ косинус меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, это точки максимума; * при переходе через точки $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$) косинус меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, это точки минимума. Ответ: $x_{\max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x_{\min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (или $x_{\min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$).