ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 274

1) Рассмотрим функцию: $$ f(x) = x - \ln(1 + x) $$ на промежутке $[0; +\infty)$. Значение функции в точке $x = 0$: $$ f(0) = 0 - \ln(1 + 0) = 0 $$ Найдем производную функции $f(x)$ при $x > 0$: $$ f'(x) = (x)' - (\ln(1 + x))' = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{1 + x - 1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} $$ Так как по условию $x > 0$, то числитель $x > 0$ и знаменатель $1 + x > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$. Так как производная строго положительна при $x > 0$, функция $f(x)$ непрерывна на $[0; +\infty)$ и строго возрастает на этом промежутке. Значит, для любого $x > 0$ справедливо неравенство: $$ f(x) > f(0) $$ $$ x - \ln(1 + x) > 0 $$ Отсюда: $$ \ln(1 + x) < x $$ Неравенство доказано. 2) Рассмотрим функцию: $$ g(x) = \ln(1 + x) - \frac{x}{x + 1} $$ на промежутке $[0; +\infty)$. Значение функции в точке $x = 0$: $$ g(0) = \ln(1 + 0) - \frac{0}{0 + 1} = 0 $$ Найдем производную функции $g(x)$ при $x > 0$, применив правило дифференцирования дроби: $$ g'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(x)' \cdot (x + 1) - x \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ $$ g'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1) - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x}{(x + 1)^2} $$ Так как $x > 0$, то $x > 0$ и $(x + 1)^2 > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ при всех $x > 0$. Функция $g(x)$ непрерывна на $[0; +\infty)$ и строго возрастает при $x \ge 0$. Следовательно, для любого $x > 0$: $$ g(x) > g(0) $$ $$ \ln(1 + x) - \frac{x}{x + 1} > 0 $$ Отсюда: $$ \ln(1 + x) > \frac{x}{x + 1} $$ Неравенство доказано.