ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 228

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ По условию точка касания $x_0 = 0$, поэтому формула принимает вид: $$ y = f'(0)x + f(0) $$ --- **1)** $f(x) = x^4 + 3x^2 - 4x + 2$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = 0^4 + 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 2 = 2 $$ 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 4x^3 + 6x - 4 $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 4 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0 - 4 = -4 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 2 + (-4)(x - 0) $$ $$ y = -4x + 2 $$ **Ответ:** $y = -4x + 2$ --- **2)** $f(x) = \sqrt[3]{x + 1}$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = \sqrt[3]{0 + 1} = 1 $$ 2. Запишем функцию в виде степени $f(x) = (x + 1)^{\frac{1}{3}}$ и найдём её производную: $$ f'(x) = \frac{1}{3}(x + 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x + 1)^2}} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(0 + 1)^2}} = \frac{1}{3} $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 + \frac{1}{3}(x - 0) $$ $$ y = \frac{1}{3}x + 1 $$ **Ответ:** $y = \frac{1}{3}x + 1$ --- **3)** $f(x) = 2x - \sqrt{x + 1}$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = 2 \cdot 0 - \sqrt{0 + 1} = -1 $$ 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{0 + 1}} = 2 - \frac{1}{2} = 1,5 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -1 + 1,5(x - 0) $$ $$ y = 1,5x - 1 $$ **Ответ:** $y = 1,5x - 1$ --- **4)** $f(x) = x + \frac{1}{x + 1}$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = 0 + \frac{1}{0 + 1} = 1 $$ 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 1 - \frac{1}{(0 + 1)^2} = 1 - 1 = 0 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 + 0 \cdot (x - 0) $$ $$ y = 1 $$ **Ответ:** $y = 1$ --- **5)** $f(x) = e^{3x} + \cos x$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = e^{3 \cdot 0} + \cos 0 = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $$ 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (e^{3x})' + (\cos x)' = 3e^{3x} - \sin x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 3e^0 - \sin 0 = 3 \cdot 1 - 0 = 3 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 2 + 3(x - 0) $$ $$ y = 3x + 2 $$ **Ответ:** $y = 3x + 2$ --- **6)** $f(x) = \sin 2x - \ln(x + 1)$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = \sin(2 \cdot 0) - \ln(0 + 1) = \sin 0 - \ln 1 = 0 - 0 = 0 $$ 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (\sin 2x)' - (\ln(x + 1))' = 2\cos 2x - \frac{1}{x + 1} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 2\cos 0 - \frac{1}{0 + 1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 0 + 1 \cdot (x - 0) $$ $$ y = x $$ **Ответ:** $y = x$