ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 227

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ **1)** $f(x) = x^3 + x^2 + 1$, $x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 + x^2 + 1)' = 3x^2 + 2x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 3 + 5(x - 1) = 3 + 5x - 5 = 5x - 2 $$ Ответ: $y = 5x - 2$. --- **2)** $f(x) = 6x - 3x^2$, $x_0 = 2$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(2) = 6 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 = 12 - 12 = 0 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(2) = 6 - 6 \cdot 2 = 6 - 12 = -6 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 0 - 6(x - 2) = -6x + 12 $$ Ответ: $y = -6x + 12$. --- **3)** $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $x_0 = 1$ 1. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = \frac{1}{1^3} = 1 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = -\frac{3}{1^4} = -3 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 - 3(x - 1) = 1 - 3x + 3 = -3x + 4 $$ Ответ: $y = -3x + 4$. --- **4)** $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $x_0 = -2$ 1. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-2}$. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4} $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x - (-2)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} $$ Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$. --- **5)** $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} $$ Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3} + 3}{6}$. --- **6)** $f(x) = e^x$, $x_0 = 0$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(0) = e^0 = 1 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^x)' = e^x $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(0) = e^0 = 1 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 + 1(x - 0) = x + 1 $$ Ответ: $y = x + 1$. --- **7)** $f(x) = \ln x$, $x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = \ln 1 = 0 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = \frac{1}{1} = 1 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 0 + 1(x - 1) = x - 1 $$ Ответ: $y = x - 1$. --- **8)** $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = \sqrt{1} = 1 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $$ Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.