ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 224

Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. 1) $f(x) = x^3$, $x_0 = 1$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^3)' = 3x^2 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 $$ Ответ: $3$. 2) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $$ k = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. 3) $f(x) = \ln x$, $x_0 = 1$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1 $$ Ответ: $1$. 4) $f(x) = e^x$, $x_0 = \ln 3$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (e^x)' = e^x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \ln 3$, используя основное логарифмическое тождество $e^{\ln a} = a$: $$ k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3 $$ Ответ: $3$. 5) $f(x) = 3x^2 - 4x$, $x_0 = 2$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (3x^2 - 4x)' = 6x - 4 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $$ k = f'(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8 $$ Ответ: $8$. 6) $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 1$ Представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$. Найдём производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ k = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$ Ответ: $1$.