ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 225

Угол $\alpha$ между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ находится из геометрического смысла производной: $$ \operatorname{tg}\alpha = f'(x_0), \quad \text{где } 0^\circ \le \alpha < 180^\circ $$ **1)** $f(x) = \frac{1}{3}x^2$, $x_0 = 1$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^2\right)' = \frac{2}{3}x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3} \implies \alpha = \operatorname{arctg}\frac{2}{3} $$ Ответ: $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{2}{3}$. --- **2)** $f(x) = \frac{1}{3}x^3$, $x_0 = 1$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' = x^2 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = 1^2 = 1 $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = 1 \implies \alpha = 45^\circ \text{ (или } \alpha = \frac{\pi}{4}\text{)} $$ Ответ: $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$). --- **3)** $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 1$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = -1 \implies \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \text{ (или } \alpha = \frac{3\pi}{4}\text{)} $$ Ответ: $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$). --- **4)** $f(x) = 2\sqrt{x}$, $x_0 = 3$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$: $$ f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 30^\circ \text{ (или } \alpha = \frac{\pi}{6}\text{)} $$ Ответ: $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$). --- **5)** $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$, $x_0 = 1$ Найдем производную сложной функции: $$ f'(x) = \left(e^{\frac{3x+1}{2}}\right)' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot \left(\frac{3x+1}{2}\right)' = \frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{3}{2}e^{\frac{3 \cdot 1 + 1}{2}} = \frac{3}{2}e^{\frac{4}{2}} = 1{,}5e^2 $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = 1{,}5e^2 \implies \alpha = \operatorname{arctg}(1{,}5e^2) $$ Ответ: $\alpha = \operatorname{arctg}(1{,}5e^2)$. --- **6)** $f(x) = \ln(2x + 1)$, $x_0 = \frac{1}{2}$ Найдем производную сложной функции: $$ f'(x) = (\ln(2x + 1))' = \frac{1}{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{2x + 1} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$: $$ f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 $$ Следовательно: $$ \operatorname{tg}\alpha = 1 \implies \alpha = 45^\circ \text{ (или } \alpha = \frac{\pi}{4}\text{)} $$ Ответ: $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$).