ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 201

1) Найдём производную степенной функции по правилу дифференцирования сложной функции $((x+c)^n)' = n(x+c)^{n-1} \cdot (x+c)' = n(x+c)^{n-1}$: $$ ((x+3)^8)' = 8(x+3)^7 \cdot (x+3)' = 8(x+3)^7 \cdot 1 = 8(x+3)^7 $$ Ответ: $8(x+3)^7$. 2) Применяем формулу производной степенной функции: $$ ((x-4)^7)' = 7(x-4)^6 \cdot (x-4)' = 7(x-4)^6 \cdot 1 = 7(x-4)^6 $$ Ответ: $7(x-4)^6$. 3) Запишем корень в виде степени с дробным показателем $\sqrt[3]{x-2} = (x-2)^{\frac{1}{3}}$: $$ ((x-2)^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}(x-2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x-2)' = \frac{1}{3}(x-2)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}} $$ Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}$. 4) Представим корень в виде степени $\sqrt{x+5} = (x+5)^{\frac{1}{2}}$: $$ ((x+5)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x+5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+5)' = \frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}} $$ Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$. 5) Представим дробь в виде степени с отрицательным показателем $\frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$: $$ ((x+1)^{-2})' = -2(x+1)^{-2-1} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-3} = -\frac{2}{(x+1)^3} $$ Ответ: $-\frac{2}{(x+1)^3}$. 6) Запишем дробь в виде степени $(x-1)^{-3}$: $$ ((x-1)^{-3})' = -3(x-1)^{-3-1} \cdot (x-1)' = -3(x-1)^{-4} = -\frac{3}{(x-1)^4} $$ Ответ: $-\frac{3}{(x-1)^4}$. 7) Представим выражение в виде степени $\frac{1}{\sqrt{x+3}} = (x+3)^{-\frac{1}{2}}$: $$ ((x+3)^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}(x+3)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = -\frac{1}{2}(x+3)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{(x+3)^3}} $$ Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{(x+3)^3}}$ (или $-\frac{1}{2(x+3)\sqrt{x+3}}$). 8) Запишем выражение в виде степени с отрицательным дробным показателем $\frac{3}{\sqrt[3]{x-4}} = 3(x-4)^{-\frac{1}{3}}$: $$ (3(x-4)^{-\frac{1}{3}})' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)(x-4)^{-\frac{1}{3}-1} \cdot (x-4)' = -(x-4)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{(x-4)^4}} $$ Ответ: $-\frac{1}{\sqrt[3]{(x-4)^4}}$ (или $-\frac{1}{(x-4)\sqrt[3]{x-4}}$).