ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 204

1) Пусть $y = \sin^2 x$. Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу синуса двойного угла, получаем: $$ y' = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x $$ 2) Пусть $y = \cos^2 x$. По правилу производной сложной функции: $$ y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x $$ 3) Пусть $y = \cos^3 x$. По формуле производной степени и сложной функции: $$ y' = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\sin x \cos^2 x $$ 4) Пусть $y = \sin^4 x$. Дифференцируем как сложную функцию: $$ y' = (\sin^4 x)' = 4\sin^3 x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cos x $$ 5) Пусть $y = e^{2x^2}$. Используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$: $$ y' = (e^{2x^2})' = e^{2x^2} \cdot (2x^2)' = e^{2x^2} \cdot 4x = 4x e^{2x^2} $$ 6) Пусть $y = e^{-x^4}$. По формуле производной показательной сложной функции: $$ y' = (e^{-x^4})' = e^{-x^4} \cdot (-x^4)' = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4} $$ 7) Пусть $y = \ln(3x^4)$, где $x \neq 0$. Используем формулу $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$: $$ y' = (\ln 3x^4)' = \frac{1}{3x^4} \cdot (3x^4)' = \frac{12x^3}{3x^4} = \frac{4}{x} $$ 8) Пусть $y = \ln(-2x)$, где $-2x > 0$, то есть $x < 0$. По формуле производной логарифмической функции: $$ y' = (\ln(-2x))' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{-2}{-2x} = \frac{1}{x} $$