ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 198

1) Найдем производную функции $y = 6x^4 - 9e^{3x}$, используя правила дифференцирования $(u - v)' = u' - v'$, вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулу производной сложной функции вида $f(kx)$: $$ y' = (6x^4 - 9e^{3x})' = 6 \cdot (x^4)' - 9 \cdot (e^{3x})' $$ $$ y' = 6 \cdot 4x^3 - 9 \cdot 3e^{3x} = 24x^3 - 27e^{3x} $$ Ответ: $24x^3 - 27e^{3x}$. 2) Найдем производную функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x$: $$ y' = \left(\frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x\right)' = \frac{1}{4} \cdot (x^8)' + 3 \cdot (\sin 3x)' $$ $$ y' = \frac{1}{4} \cdot 8x^7 + 3 \cdot 3\cos 3x = 2x^7 + 9\cos 3x $$ Ответ: $2x^7 + 9\cos 3x$. 3) Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Найдем производную функции $y = 3x^{\frac{1}{3}} - 4\cos 4x$: $$ y' = \left(3x^{\frac{1}{3}} - 4\cos 4x\right)' = 3 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' - 4 \cdot (\cos 4x)' $$ $$ y' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} - 4 \cdot (-4\sin 4x) = x^{-\frac{2}{3}} + 16\sin 4x = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + 16\sin 4x $$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + 16\sin 4x$. 4) Представим дробь в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}$. Найдем производную функции $y = 5x^{-2} + 4e^{\frac{x}{4}}$: $$ y' = \left(5x^{-2} + 4e^{\frac{1}{4}x}\right)' = 5 \cdot (x^{-2})' + 4 \cdot \left(e^{\frac{1}{4}x}\right)' $$ $$ y' = 5 \cdot (-2)x^{-3} + 4 \cdot \frac{1}{4}e^{\frac{x}{4}} = -10x^{-3} + e^{\frac{x}{4}} = -\frac{10}{x^3} + e^{\frac{x}{4}} $$ Ответ: $-\frac{10}{x^3} + e^{\frac{x}{4}}$. 5) Представим первое слагаемое в виде $\frac{1}{3}x^{-3}$. Найдем производную функции $y = \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln 4x$: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln 4x\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^{-3})' + \frac{1}{2} \cdot (\ln 4x)' $$ Так как $(\ln 4x)' = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{4}{4x} = \frac{1}{x}$, получаем: $$ y' = \frac{1}{3} \cdot (-3x^{-4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = -x^{-4} + \frac{1}{2x} = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x} $$ Ответ: $-\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$. 6) Запишем корень как степень: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Найдем производную функции $y = 3\tg 2x - 2x^{\frac{1}{3}}$: $$ y' = (3\tg 2x - 2x^{\frac{1}{3}})' = 3 \cdot (\tg 2x)' - 2 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' $$ $$ y' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{6}{\cos^2 2x} - \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{6}{\cos^2 2x} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ Ответ: $\frac{6}{\cos^2 2x} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.