ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 203

Для нахождения производных представим выражения с корнями в виде степеней с рациональным показателем и применим формулу производной сложной функции: $$ (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' $$ 1) Пусть $y = \frac{4}{\sqrt{2-8x}}$. Перепишем функцию в виде степени: $$ y = 4(2-8x)^{-\frac{1}{2}} $$ Найдём производную: $$ y' = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(2-8x)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (2-8x)' = -2(2-8x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-8) = 16(2-8x)^{-\frac{3}{2}} = \frac{16}{\sqrt{(2-8x)^3}} $$ Ответ: $\frac{16}{\sqrt{(2-8x)^3}}$. --- 2) Пусть $y = \frac{3}{\sqrt{4x+1}}$. Запишем функцию в виде степени: $$ y = 3(4x+1)^{-\frac{1}{2}} $$ Найдём производную: $$ y' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4x+1)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (4x+1)' = -\frac{3}{2}(4x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4 = -6(4x+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{6}{\sqrt{(4x+1)^3}} $$ Ответ: $-\frac{6}{\sqrt{(4x+1)^3}}$. --- 3) Пусть $y = \frac{\sqrt{3x+2}}{7}$. Запишем функцию в виде степени: $$ y = \frac{1}{7}(3x+2)^{\frac{1}{2}} $$ Найдём производную: $$ y' = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}(3x+2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{14}(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{14\sqrt{3x+2}} $$ Ответ: $\frac{3}{14\sqrt{3x+2}}$. --- 4) Пусть $y = \frac{1}{\sqrt{4x+1}}$. Запишем функцию в виде степени: $$ y = (4x+1)^{-\frac{1}{2}} $$ Найдём производную: $$ y' = -\frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (4x+1)' = -\frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4 = -2(4x+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{(4x+1)^3}} $$ Ответ: $-\frac{2}{\sqrt{(4x+1)^3}}$. --- 5) Пусть $y = \frac{7}{\sqrt[4]{3-8x}}$. Запишем функцию в виде степени: $$ y = 7(3-8x)^{-\frac{1}{4}} $$ Найдём производную: $$ y' = 7 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)(3-8x)^{-\frac{1}{4}-1} \cdot (3-8x)' = -\frac{7}{4}(3-8x)^{-\frac{5}{4}} \cdot (-8) = 14(3-8x)^{-\frac{5}{4}} = \frac{14}{\sqrt[4]{(3-8x)^5}} $$ Ответ: $\frac{14}{\sqrt[4]{(3-8x)^5}}$. --- 6) Пусть $y = \frac{7}{\sqrt[3]{2-9x}}$. Запишем функцию в виде степени: $$ y = 7(2-9x)^{-\frac{1}{3}} $$ Найдём производную: $$ y' = 7 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)(2-9x)^{-\frac{1}{3}-1} \cdot (2-9x)' = -\frac{7}{3}(2-9x)^{-\frac{4}{3}} \cdot (-9) = 21(2-9x)^{-\frac{4}{3}} = \frac{21}{\sqrt[3]{(2-9x)^4}} $$ Ответ: $\frac{21}{\sqrt[3]{(2-9x)^4}}$.