ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 200

1) Найдем производную функции $f(x) = 3x^{2}-4\sqrt[3]{x}+2e^{\frac{x}{3}}$. Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $$ f(x) = 3x^2 - 4x^{\frac{1}{3}} + 2e^{\frac{1}{3}x} $$ Используя правила дифференцирования суммы, формулу производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правило дифференцирования сложной функции $(e^{kx})' = k e^{kx}$, получаем: $$ f'(x) = 3 \cdot 2x - 4 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} + 2 \cdot \frac{1}{3}e^{\frac{1}{3}x} = 6x - \frac{4}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}} = 6x - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}} $$ Ответ: $6x - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$. --- 2) Найдем производную функции $f(x) = 2x^{3}+3\sqrt{x}-\cos2x$. Запишем корень в виде степени: $$ f(x) = 2x^3 + 3x^{\frac{1}{2}} - \cos 2x $$ Дифференцируем каждое слагаемое, учитывая, что $(\cos kx)' = -k\sin kx$: $$ f'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 6x^2 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\sin 2x $$ Ответ: $6x^2 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\sin 2x$. --- 3) Найдем производную функции $f(x) = \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\ln x^{3}$. Представим слагаемые в виде степеней и применим свойство логарифма $\ln(x^3) = 3\ln x$ при $x > 0$: $$ f(x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} + 3\ln x $$ Находим производную суммы: $$ f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} + 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} + \frac{3}{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3x\sqrt[3]{x}} + \frac{3}{x} $$ Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3x\sqrt[3]{x}} + \frac{3}{x}$. --- 4) Найдем производную функции $f(x) = 2x^{8}-3\operatorname{tg} 3x-\frac{1}{3}\sin 3x$. Применяем формулы производных тригонометрических функций и правило дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = 2 \cdot 8x^7 - 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot (3x)' - \frac{1}{3} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' $$ $$ f'(x) = 16x^7 - 3 \cdot \frac{3}{\cos^2 3x} - \frac{1}{3} \cdot 3\cos 3x = 16x^7 - \frac{9}{\cos^2 3x} - \cos 3x $$ Ответ: $16x^7 - \frac{9}{\cos^2 3x} - \cos 3x$. --- 5) Найдем производную функции $f(x) = 8x^{4}+7x^{7}-\cos4x$. Используем правила дифференцирования степени и сложного косинуса: $$ f'(x) = 8 \cdot 4x^3 + 7 \cdot 7x^6 - (-\sin 4x) \cdot (4x)' $$ $$ f'(x) = 32x^3 + 49x^6 + 4\sin 4x $$ Ответ: $32x^3 + 49x^6 + 4\sin 4x$. --- 6) Найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{5}\operatorname{ctg} x-5x^{5}-\frac{1}{4}e^{2x}$. Применяем формулу $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, правило степени и производную экспоненты сложного аргумента: $$ f'(x) = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) - 5 \cdot 5x^4 - \frac{1}{4} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' $$ $$ f'(x) = -\frac{1}{5\sin^2 x} - 25x^4 - \frac{1}{4} \cdot 2e^{2x} = -\frac{1}{5\sin^2 x} - 25x^4 - \frac{1}{2}e^{2x} $$ Ответ: $-\frac{1}{5\sin^2 x} - 25x^4 - \frac{1}{2}e^{2x}$.