ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1105

Пусть задана функция: $$ f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c $$ Её производная равна: $$ f'(x) = -3x^2 + 2ax + b $$ **1. Использование условия симметрии точек $A$ и $B$ и параллельности касательных** Точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ лежат на графике функции и симметричны относительно вертикальной прямой $x = 2$. Это означает, что отрезок $AB$ перпендикулярен этой прямой (то есть $y_1 = y_2$), а прямая $x = 2$ делит его пополам: $$ \frac{x_1 + x_2}{2} = 2 $$ Тогда абсциссы точек можно записать в виде $x_1 = 2 - d$ и $x_2 = 2 + d$, где $d > 0$. Касательные в точках $A$ и $B$ параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны: $$ f'(x_1) = f'(x_2) \iff f'(2 - d) = f'(2 + d) $$ График производной $f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Равенство значений $f'(2 - d) = f'(2 + d)$ для $d \neq 0$ означает, что осью симметрии этой параболы является прямая $x = 2$. Абсцисса вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{2a}{2 \cdot (-3)} = \frac{a}{3} $$ Отсюда: $$ \frac{a}{3} = 2 \implies a = 6 $$ **2. Нахождение связи между $b$ и $d$** Так как $y_1 = y_2$, выполняется равенство $f(2 - d) = f(2 + d)$. Подставим найденное значение $a = 6$ в выражение функции: $$ f(x) = -x^3 + 6x^2 + bx + c $$ Разложим $f(2 + t)$ по степеням $t$: $$ f(2 + t) = -(2 + t)^3 + 6(2 + t)^2 + b(2 + t) + c $$ Раскроем скобки: $$ f(2 + t) = -(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) + 6(t^2 + 4t + 4) + b(t + 2) + c $$ $$ f(2 + t) = -t^3 + (12 + b)t + (16 + 2b + c) $$ Приравняем $f(2 - d)$ и $f(2 + d)$: $$ -d^3 + (12 + b)d + (16 + 2b + c) = d^3 - (12 + b)d + (16 + 2b + c) $$ $$ 2d^3 - 2(12 + b)d = 0 $$ Так как $d > 0$, разделим обе части на $2d$: $$ d^2 - (12 + b) = 0 \implies d^2 = 12 + b $$ **3. Уравнения касательных и нахождение коэффициентов** Угловой коэффициент касательных в точках $x = 2 \pm d$: $$ k = f'(2 + d) = -3(2 + d)^2 + 12(2 + d) + b = 12 - 3d^2 + b $$ Так как $d^2 = 12 + b$: $$ k = 12 - 3(12 + b) + b = -24 - 2b $$ Уравнение касательной в точке $(x_0; y_0)$ имеет вид $y = k(x - x_0) + y_0$, или $y = kx + m$, где $m = y_0 - kx_0$ — ордината точки пересечения касательной с осью $Oy$. Для точки $x_0 = 2 + t$ (где $t = \pm d$): $$ y_0 = f(2 + t) = -t^3 + (12 + b)t + 16 + 2b + c $$ $$ k = f'(2 + t) = -3t^2 + 12 + b $$ Тогда: $$ m = y_0 - k(2 + t) = y_0 - kt - 2k $$ Вычислим $y_0 - kt$: $$ y_0 - kt = -t^3 + (12 + b)t + 16 + 2b + c - (-3t^3 + (12 + b)t) = 2t^3 + 16 + 2b + c $$ Подставим $-2k = -2(-24 - 2b) = 48 + 4b$: $$ m(t) = 2t^3 + 16 + 2b + c + 48 + 4b = 2t^3 + 6b + c + 64 $$ По условию одна касательная проходит через точку $(0; 2)$, а другая — через точку $(0; 6)$. Поскольку $d > 0$, получаем $m(d) > m(-d)$, значит: $$ \begin{cases} m(d) = 2d^3 + 6b + c + 64 = 6 \\ m(-d) = -2d^3 + 6b + c + 64 = 2 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 4d^3 = 4 \implies d^3 = 1 \implies d = 1 $$ Так как $d^2 = 12 + b$: $$ 1 = 12 + b \implies b = -11 $$ Сложим уравнения системы: $$ 2(6b + c + 64) = 8 $$ $$ 6b + c + 64 = 4 $$ Подставим $b = -11$: $$ 6(-11) + c + 64 = 4 $$ $$ -66 + c + 64 = 4 $$ $$ c - 2 = 4 \implies c = 6 $$ Ответ: $a = 6$, $b = -11$, $c = 6$.