ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1108

Точка $D$ — точка пересечения графика функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ с осью ординат. При $x = 0$ получаем $y = c$, следовательно, координаты точки $D(0; c)$, где $c > 0$. Так как график кубической функции имеет с осью абсцисс ровно две общие точки $A$ и $B$, уравнение $-x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень кратности 2 и один простой корень. В точке, соответствующей кратному корню, график касается оси $Ox$ (производная равна нулю). Пусть касательная к графику в точке $B(x_B; 0)$ проходит через точку $D(0; c)$. Найдем её угловой коэффициент: $$ k = \frac{0 - c}{x_B - 0} = -\frac{c}{x_B} $$ Так как $c > 0$, то $k \neq 0$. Значит, касательная в точке $B$ не горизонтальна, то есть $y'(x_B) \neq 0$. Следовательно, точка $B$ является простым нулем функции, а точка $A(x_A; 0)$ — точкой касания с осью $Ox$ (корнем кратности 2). Тогда функцию можно записать в виде: $$ y = -(x - x_A)^2 (x - x_B) $$ При $x = 0$: $$ y(0) = -(-x_A)^2(-x_B) = x_A^2 x_B $$ Отсюда: $$ c = x_A^2 x_B $$ Так как $c > 0$, получаем $x_B > 0$ и $x_A \neq 0$. Найдем производную функции: $$ y' = -2(x - x_A)(x - x_B) - (x - x_A)^2 $$ Значение производной в точке $x = x_B$: $$ y'(x_B) = -(x_B - x_A)^2 $$ Поскольку угловой коэффициент касательной в точке $B$ равен $y'(x_B)$, получаем: $$ -(x_B - x_A)^2 = -\frac{c}{x_B} $$ Подставим $c = x_A^2 x_B$: $$ -(x_B - x_A)^2 = -\frac{x_A^2 x_B}{x_B} $$ $$ (x_B - x_A)^2 = x_A^2 $$ Отсюда возможны два случая: 1) $x_B - x_A = -x_A \implies x_B = 0$, что невозможно, так как $c = x_A^2 x_B > 0$. 2) $x_B - x_A = x_A \implies x_B = 2x_A$. Так как $x_B > 0$, то $x_A > 0$. Тогда: $$ c = x_A^2 \cdot (2x_A) = 2x_A^3 $$ Вершины треугольника $ABD$ имеют координаты $A(x_A; 0)$, $B(2x_A; 0)$ и $D(0; c)$. Сторона $AB$ лежит на оси абсцисс, её длина: $$ AB = |x_B - x_A| = 2x_A - x_A = x_A $$ Высота треугольника, опущенная из вершины $D$ на ось абсцисс, равна ординате точки $D$, то есть $c$. Площадь треугольника $ABD$: $$ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot c = \frac{1}{2} \cdot x_A \cdot 2x_A^3 = x_A^4 $$ По условию площадь равна 1: $$ x_A^4 = 1 \implies x_A = 1 \quad (\text{так как } x_A > 0) $$ Находим $x_B$ и $c$: $$ x_B = 2x_A = 2 $$ $$ c = 2x_A^3 = 2 $$ Запишем формулу функции и раскроем скобки: $$ y = -(x - 1)^2 (x - 2) = -(x^2 - 2x + 1)(x - 2) = -(x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2 $$ Сравнивая с исходным видом $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем: $$ a = 4, \quad b = -5, \quad c = 2 $$ Ответ: $a = 4$, $b = -5$, $c = 2$.