ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1103

Найдём производную заданной функции: $$ f'(x) = (\sin 2x)' - (8(b + 2)\cos x)' - ((4b^2 + 16b + 6)x)' $$ $$ f'(x) = 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6) $$ По условию задачи производная должна быть отрицательной на всей числовой прямой, то есть неравенство $f'(x) < 0$ должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$: $$ 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6) < 0 $$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 2(1 - 2\sin^2 x) + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6 < 0 $$ $$ 2 - 4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6 < 0 $$ $$ -4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 4 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-4$, изменив знак неравенства: $$ \sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1 > 0 $$ Выделим полный квадрат в выражении: $$ \sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + (b + 2)^2 - (b + 2)^2 + b^2 + 4b + 1 > 0 $$ $$ (\sin x - (b + 2))^2 - (b^2 + 4b + 4) + b^2 + 4b + 1 > 0 $$ $$ (\sin x - (b + 2))^2 - 3 > 0 $$ Пусть $t = \sin x$. Так как множество значений синуса есть отрезок $[-1; 1]$, неравенство должно выполняться для всех $t \in [-1; 1]$: $$ (t - (b + 2))^2 > 3 $$ Рассмотрим квадратичную функцию $g(t) = (t - (b + 2))^2 - 3$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Корни уравнения $g(t) = 0$: $$ t_1 = b + 2 - \sqrt{3}, \quad t_2 = b + 2 + \sqrt{3} $$ Неравенство $g(t) > 0$ выполняется вне отрезка между корнями, то есть при $t < t_1$ или $t > t_2$. Чтобы неравенство $g(t) > 0$ выполнялось для всех $t \in [-1; 1]$, весь этот отрезок должен лежать либо строго левее меньшего корня, либо строго правее большего корня. Получаем совокупность двух условий: $$ \left[\begin{aligned} & 1 < b + 2 - \sqrt{3} \\ & -1 > b + 2 + \sqrt{3} \end{aligned}\right. $$ Решим каждое неравенство: 1) Из первого неравенства: $$ b > 1 - 2 + \sqrt{3} \implies b > \sqrt{3} - 1 $$ 2) Из второго неравенства: $$ b < -1 - 2 - \sqrt{3} \implies b < -\sqrt{3} - 3 $$ Таким образом: $$ b \in (-\infty; -\sqrt{3} - 3) \cup (\sqrt{3} - 1; +\infty) $$ Ответ: $b \in (-\infty; -\sqrt{3} - 3) \cup (\sqrt{3} - 1; +\infty)$.